1、考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 z=f(x，y)= ，则 f(x，y)在点(0，0)处（A）可微（B）偏导数存在，但不可微（C）连续，但偏导数不存在（D）偏导数存在，但不连续2 设 z=f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0) 处（A）偏导数存在且连续（B）偏导数不存在，但连续（C）偏导数存在，可微（D）偏导数存在，但不可微 3 设 f(x，y)=x-y(x ， y)，其中 (x，y)在点(0 ，0) 处连续且 (0，0)=0 ，则f(x，y)在点(0，0)处（A）连续，但偏导数不存在（B）不
2、连续，但偏导数存在（C）可微（D）不可微4 已知(axy 3-y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy 为某二元函数 f(x，y) 的全微分，则常数（A）a=-2，b=2 （B） a=2，b=-2（C） a=-3，b=3（D）a=3 ，b=-35 设 z=x2+y2-2lnx-2lny(x0，y0)，则下列结论正确的是（A）函数 z 有四个驻点，且均为极小值点（B）函数 z 有四个驻点，且均为极大值点（C）函数 z 有四个驻点，其中两个为极大值点，两个为极小值点（D）函数 z 有二个驻点，其中一个为极大值点，一个为极小值点6 设平面区域 D1=(x，y)x 2+y2R2，D 2
3、=(x，y)x 2+y2R2，x0 ，D3=(x，y) x 2+y2R2，x0，y0，则必有7 设平面区域 D1=(x，y)x+y1 ，D 2=(x，y)x 2+y21，D 3=(x，y)，则（A）I 1I 2 I3（B） I1I 3I 2 （C） I3I 1I 2（D）I 3I 2 I1二、填空题8 已知函数 z=F(X，Y)在 (1，1)处可微，且 F(1，1)=1，=3设 (x)=fx，f(x，x)，则 =_9 设 f(x)= D=(x，y) - x+，-y+，则=_10 设 D=(x， y)2xx 2+y2，0yx2，则 =_11 交换积分次序： =_12 累次积分 =_三、解答题解答
4、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 计算累次积分：14 计算二重积分 I= ，其中 D 是由 y=1，y=x 2 及 x=0 所围区域(如图 433)15 计算二重积分 ，其中 D 是由 y=x，y=0，x=1 所围成的区域(如图 434)16 计算 ，其中 D 是由圆心在点 (a，a)、半径为 a 且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的区域17 计算二重积分 ，其中积分区域 D 是由直线 x=0，x=2，y=2 与曲线y= 所围成18 计算二重积分 x+y-2dxdy，其中 D=x，y)0x2，-2y219 计算下列二重积分：() ，其中 D 是由曲线 r= 围成的区域；()
5、 ，其中 D 是由直线 y=x，圆 x2+y2=2x 以及 x 轴围成的平面区域20 计算下列二重积分：() x 2+y2-1d ，其中 D=(x，y)0x1，0y1；() sin(x-y)d，其中 D=(x，y)0xy221 设函数 计算二重积分 ，其中 D=(x， y)x+y2 22 求下列二重积分：()I= ，其中 D=(x，y)0x1，0y1；()I= ，其中 D=(x，y) x 2+y2123 设函数 f(x)在区间0， 1上具有连续导数，f(0)=1，且满足其中 D1=(x，y)0xt，0yt-x(0t1)求f(x)的表达式24 计算二重积分 ，其中 D 是由直线 y=x 与 y
6、轴在第一象限围成的区域25 设 D=(x， y)0x +，0y+，求26 设 D=(x， y)-x+，-y+，求27 计算下列函数指定的偏导数：()设 u=f(2x-y)+g(x，xy)，其中 f 具有二阶连续导数，g 具有二阶连续偏导数，求 ()设 u=u(x，y)由方程 u=(u)+ 确定，其中 可微， P 连续，且 (u)1，求 ()设 z3-2xz+y=0 确定 z=z(x，y)，求 z 的三个二阶偏导数28 已知函数 x=u(x，y)e ax+by，其中 u(x，y)具有二阶连续偏导数，且29 设函数 f(x)二阶可导，g(y) 可导，且 F(x，y)=fx+g(y)，求证：考研数学
7、三（多元函数微积分学）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设z=f(x，y)-f(0 ，0)，则可知 z= 这表明f(x，y)= 在点(0，0)处连续因 f(x，0)=0 ，所以 fx(0，0)=0，同理 fy(0，0)=0令 =z-fx(0，0) x-fy(0，0)y=，当( x，y)沿 y=x 趋于点(0，0)时即 不是 的高阶无穷小，因此 f(x，y)在点(0，0)处不可微，故选 (B)【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由偏导数定义可知这说明 fx(0，0)存在且为 0，同
8、理 fy(0，0)存在且为 0又所以f(x，y)在点(0，0)处可微分故选 (C)【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 逐项分析：()x-y在(0 ，0)连续， (x，y)在点(0，0)处连续f(x，y)在点(0，0)处连续f(x，y)在点(0，0)处可微选 (C)【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 依题设由 df(x，y)=f x(x，y)dx+f y(x，y)dy =(axy3-y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy， 可知 f x(x，y)=axy 3-y2cosx，f y(x，y)=1+bysinx+3x 2y2，
9、 所以 f xy(x，y)=3axy 2-2ycosx，f yx(x，y)=bycosx+6xy 2 由 fxy(x，y)和 fyx(x，y)的表达式可知它们都是连续函数，根据当混合偏导数连续时与求导次序无关的定理即得 fxy(x，y)f yx(x，y)从而 a=2，b=-2故应选(B)【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 所以有四个驻点(-1，1)，(-1，-1)，(1 ， -1)，(1，1)又 故有AC-B20，且 A0从而以上四个驻点均为极小值点选(A) 【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 由积分区域和被积函数的奇偶性判断可知(B)正
10、确【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 易见三个积分区域 D1，D 2，D 3 各自分别关于 x 轴对称，又各自分别关于 y 轴对称，记它们各自在第一象限的部分区域为 D11，D 21，D 31再利用被积函数 f(x，y)= xy分别关于变量 x 与变量 y 都是偶函数，从而有因为三个积分区域 D11，D 21，D 31 的左边界都是 y轴上的直线段(x，y)x=0，0y1 ，下边界都是 x 轴上的直线段(x，y)0x1 ，y=0，而 D11 的上边界是直线段(x，y)0x1，y=1-x ，D 21 的上边界是圆弧(x，y)0x1，y= ，D 31 的上边界是曲线弧(
11、x，y)0x1 ， 不难发现当 0x1 时即三个积分区域 D11，D 21 与 D31的包含关系是 D31 D21，如图 41从而利用被积函数xy非负且不恒等于零即知三个二重积分的大小关系应是 I3I 1I 2，即应选(C)【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题8 【正确答案】 51【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 【试题解析】 由于 故在区域 D1=(x，y)0y1，-yx1-y(如图 42)上 f(y)=y，f(x+y)=x+y，在 D1 的外部 f(y)=0， f(x+y)=0于是【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 【试题解析】 采用极坐标计算
12、首先画出 D 的图形 (如图 43)，x 2+y2=2x 的极坐标方程为 p=2cos；x=2 的极坐标方程为 p=2sec；y=x 的极坐标方程为 = ，故【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 【试题解析】 由题设知，积分区域由 x=0，x=1，y= 2，y=3-x 所围成，即积分区域D=D1+D2+D3(如图 44) ，且 D 1=(x，y)0y1， 0x ， D2=(x，y)1y2 ，0x1， D 3=(x，y)2y3 ，0x3-y ，于是交换积分次序得【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 【试题解析】 如图 45，在(，p)平面上交换积分次序，有【知识模块】 多
13、元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 由累次积分限知：0x1 时 1yx+1；1x2 时 xyx+1；2x3时 xy3，于是积分区域 D 如图 432 所示，因此 D 可表示为D=(x，y) 1y3 ，y-1xy，从而【试题解析】 本题实质上是二重积分的计算，而且已经化成了累次积分，但由于这里项数较多，计算起来较复杂，所以不宜先对 y 积分，必须先确定积分区域 D，然后再交换积分顺序【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 被积函数中含有 ，若先对 y 积分，其原函数无法用初等函数表示，因此先对 x 积分【知识模块】 多元函数微积分学15
14、【正确答案】 因被积函数中含 ，必须先用倍角公式化成一次幂，即而 D=(x，y)0x1，0yx，于是【试题解析】 被积函数 ，若先对 x 积分，则原函数不易求出故只能采用先对 y 进行积分，后对 x 积分的积分次序【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 区域 D 如图 435，区域 D 的上边界是方程为(x-a) 2+(y-a)2=a2 的下半圆上的一段弧，它的方程为 ，下边界方程为 y=0，故区域 D可表为【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 积分区域 D 如图 436 所示，D 的不等式表示是D=(x，y) 0x2 ， y2，从而【知识模块】 多元函数微积分学18 【
15、正确答案】 因 如图 437 所示，用直线 y=x+2，y=-x 将 D 分成 D1，D 2 与 D23，于是可得【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 () 积分域 D 见图 438D 的极坐标表示是：0 ，0rsin2，于是 ()在极坐标系 x=Feos，y=rsin 中积分区域D= ，如图 4 39，故【试题解析】 第() 小题的积分域涉及圆，自然应该用极坐标系第()小题尽管与圆无关，但是若用直角坐标系，边界曲线的表达式很复杂，所以也应该用极坐标系【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 () 将积分区域分块，如图 440 设D1=(x，y) x 2+y21D，D 2=
16、(x2，y 2)x+y1D，则 D=D1+D2，且可分块计算二重积分 用极坐标x=rcos，y=rsin 计算第一个二重积分由于计算第二个二重积分由于 D2=D-D1，故()依图 4 41 所示将区域 D 分割，则【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 积分区域 D 如图 442 所示 不难发现，区域 D 分别关于 x 轴和 y 轴对称，而被积函数关于 x 和 y 都是偶函数，从而原积分可化为在第一象限积分的 4 倍，即为计算D2 上积分的方便，引入极坐标：x=rcos，y=rsin，则 x+y=1 的方程为，x+y=2 的方程为【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 考察
17、积分区域与被积函数的特点，选择适当方法求解()尽管D 的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便 D 的边界线 x=1及 y=1 的极坐标方程分别为()在积分区域 D 上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂因 D 是圆域，可用极坐标变换，转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形这时可利用周期函数的积分性质 作极坐标变换 x=rcos，y=rsin ，则 D=(r，) 02，0r1 从而【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 积分区域 Dt 如图 443 所示，计算可得从而 f(t)满足将(*)式两端对 t 求导数得解微分方程(*) 又可得 代入 f(0)=1 可确定常
18、数 C=16，故【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 无界区域 D 的左边界是 y 轴，右边界是 y=x，而 y 的取值范围是0y+(如图 444)不难发现，当 b+ 时 Db=Dyb=(x， y)0yb，0xy 将趋向于无界区域 D，从而【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 设 R0，且 DR=Dx2+y2R2=(x，y)x 2+y2R2，x0 ，y0=(r，)0 ，0rR，于是【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 设 R0，且 DR=Dx，y) x 2+y2R2=(x，y) x 2+y2R2，不难发现当 R+ 时 DRD引入极坐标系(r ，)满足 x=Fcos，y=rsin ，可得【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 () =-2f+xg12+g2+xyg22()在u=(u)+ 两边分别对 x，y 求偏导数可得()在方程两边分别对 x求偏导数得【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学
