1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2004 年) 函数 在下列哪个区间内有界?( )（A）(一 1，0) 。（B） (0，1) 。（C） (1，2) 。（D）(2 ，3)。2 (2000 年) 设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 g(x)一 (x)=0，则 ( )（A）存在且一定等于零。（B）存在但不一定等于零。（C）一定不存在。（D）不一定存在。3 (2014 年) 设 ，且 a0，则当 n 充分大时有( )4 (2015 年) 设 xn是数列，下列命题中不正确的是( )5 (2007 年
2、) 当 x0 +时，与 等价的无穷小量是( )6 (2009 年) 当 x0 时，f(x)=x 一 sinax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则( )7 (2011 年) 已知当 x0 时，f(x)=3sinxsin3x 与 cxk 是等价无穷小，则( ) （A）k=1，c=4。（B） k=1，c=一 4。（C） k=3，c=4。（D）k=3，c=一 4。8 (2013 年) 当 x0 时，用“o(x)” 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是( )（A）x.o(x 2)=o(x3)。（B） o(x).o(x2)=o(x3)。（C） o(x2)+o(x2)=o(x
3、2)。（D）o(x)+o(x 2)=o(x2)。9 (2014 年) 设 p(x)=a+bx+cx2+dx3，当 x0 时，若 p(x)一 tanx 是比 x3 高阶的无穷小，则下列选项错误的是( )（A）a=0 。（B） b=1。（C） c=0。（D）10 (2010 年) 设 f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)= ，则当 x 充分大时有( )（A）g(x) h(x)f(x)。（B） h(x)g(x)f(x)。（C） f(x)g(x)h(x)。（D）g(x) f(x)h(x)。11 (2010 年) 若 ，则 a 等于( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。二、填空题12
4、 (2004 年) 若 (cosx 一 b)=5，则 a=_，b=_ 。13 (2009 年) =_14 (2015 年) =_15 (2016 年) 已知函数 f(x)满足 =_。16 (2005 年) 极限 =_。17 (2006 年) =_。18 (2007 年) (sinx+cosx)=_。19 (2002 年) 设常数 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 (2013 年) 当 x0 时，1 一 cosx.cos2x.cos3x 与 axn 为等价无穷小，求 n 与 a 的值。21 (2015 年) 设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x
5、)=kx 3，若 f(x)与 g(x)在 x0 是等价无穷小，求 a，b，k 的值。22 (2002 年) 求极限23 (2008 年) 求极限24 (2011 年) 求极限25 (2012 年) 计算26 (2017 年) 求极限27 (2006 年) 设 f(x，y)= x0，y0，求28 (2014 年) 求极限29 (2004 年) 求30 (2005 年) 求31 (2001 年) 已知 f(x)在( 一，+)内可导，且求 c 的值。32 (2010 年) 求极限考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【
6、正确答案】 A【试题解析】 当 x0，1，2 时，f(x)连续，而所以，函数 f(x)在(一 1，0)内有界，故选 A。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 用排除法。由夹逼准则知, ，则选项 A 与 C 错误。但是由于有 =+，极限不存在，故不选 B，所以选 D。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 所以对任意的 0，当 n 充分大时，有|a n 一a|。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 如果数列x n收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。对于 A 选项， 即数列x n收敛于 a，而x 2n，x 2n+1都是x n的子列
7、，所以有 ，选项 A 是正确的。选项 C 与选项 A 同理。所以选项C 正确。对于 B 选项，x 2n，x 2n+1的极限都等于 a，且x 2n，x 2n+1分别是下标为偶数和奇数的子列，故 ，所以选项 B 是正确的。对于 D 选项，但x 3n，x 3n+1的并集没有包含x n的所有项，所以不能推出因此 D 选项不正确。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 +时，有可知唯一正确的选项为 B。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 由泰勒公式，当 x0 时，故 xsinax=同时，g(x)=x 2ln(1 一 bx)一 bx3。可见，要使得 f(x)g(x
8、)，则必有 a=1，b= 故选 A。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 由泰勒公式知， 则 f(x)=3sinxsin3x=4x3+o(x3)4x 3(当 x0 时)。所以原式=由此可得 k=3，c=4，因此选 C。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 由于 p(x)一 tanx 是 x3 的高阶无穷小，则有故 a=0。又由洛必达法则，可得 b+2cx+3dx2 一(secx) 2=0，则有 b 一 1=0。因此 b=1。故应选 D。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 因为 所以当 x
9、充分大时，h(x)g(x)。 故当 x 充分大时，f(x)g(x) h(x)。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分二、填空题12 【正确答案】 a=1，b=一 4【试题解析】 因为得 a=1，则原极限化为 得 b=一 4。因此，a=1，b=一 4。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 利用等价无穷小替换【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查的是极限计算。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 6【试题解析】 已知 由等价无穷小替换得【知识模块】 微积分16 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分17
10、 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 0【试题解析】 因为【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 所以 n=2 的时候上述极限存在，根据题意 即 a=7。【知识模块】 微积分21 【正确答案】 使用泰勒公式有【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 根据洛必达法则以及等价无穷小代换可得【知识模块】 微积分26 【正确答案】 先对变上限积分
11、 作变量代换 u=xt，得则由洛必达法则可知【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 等价无穷小替换可得再由洛必达法则可得由于当 x0 时，有麦克劳林公式ex=1+x+ +o(x2)，从而当 x+时，有 代入极限式可得：【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 【知识模块】 微积分31 【正确答案】 又因为 f(x)在( 一，+)内可导，故在闭区间x 一 1，x上连续，在开区间(x 一 1，x)内可导，由拉格朗日中值定理，有 f(x)一 f(x 一 1)=f()x 一(x 一 1)=f()，x 一1x。左、右两边同时求极限，得 因为 x一 1x，x 趋于无穷大时， 也趋向于无穷大。【知识模块】 微积分32 【正确答案】 运用洛必达法则计算极限得【知识模块】 微积分
