1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2005 年) 当 a 取值为( ) 时，函数 f(x)=2x3 一 9x2+12xa 恰有两个不同的零点。（A）2。（B） 4。（C） 6。（D）8。2 (2001 年) 设函数 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 ，则( )（A）x=a 是 f(x)的极小值点。（B） x=a 是 f(x)的极大值点。（C） (a，f(a)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）x=a 不是 f(x)的极值点，(a，f(a) 也不是曲线 y=f(x)的拐点。3 (2004 年) 设 f(x
2、)=|x(1-x)|，则( )（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点。（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (O，O)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。4 (2005 年) 设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是( )（A）f(0)是极大值， 是极小值。（B） f(0)是极小值， 是极大值。（C） f(0)是极大值， 也是极大值。（D）f(0)是极小值， 也是极小值。5 (2010
3、年) 设函数 f(x)，g(x)具有二阶导数，且 g“(x)0.若 g(x0)=a 是 g(x)的极值，则 fg(x)在 x0 取极大值的一个充分条件是 ( )（A）f(a) 0。 （B） f(a)0。（C） f“(a) 0。 （D）f“(a) 0。6 (2015 年) 设函数 f(x)在(一，+)连续，其二阶导函数 f“(x)的图形如右下图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个数为( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。7 (2016 年) 设函数 y=f(x)在(一 ，+)内连续，其导函数的图象如下图所不，则( )（A）函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点
4、。（B）函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 3 个拐点。（C）函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 1 个拐点。（D）函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点。8 (2007 年) 曲线 +ln(1+ex)渐近线的条数为( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。9 (2012 年) 曲线 渐近线的条数为( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。10 (2014 年)下列曲线有渐近线的是( )（A）y=x+sinx。（B） y=x2+sinx。（C）（D）11 (2007 年)设某商品的需求函数为 Q=160 一 2p，其
5、中 Q，p 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是( )（A）10。（B） 20。（C） 30。（D）40。 12 (1999 年)设 f(x)是连续函数， F(x)是 f(x)的原函数，则( )（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必是偶函数。（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数。（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数。（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必是单调增函数。13 (2005 年)以下四个命题中，正确的是( )（A）若 f(x)在(0，1) 内连续，则 f(x)在(0，1) 内有界。（B）若 f(x)在(0，1
6、)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界。（C）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界。（D）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1) 内有界。14 (2007 年) 如图，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间-2，0，0 ，2上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 F(x)=0xf(t)dt 则下列结论正确的是( )15 (2017 年)若函数 f(x)可导，且 f(x)f(x)0，则( )（A）f(1)f( 一 1)。（B） f(1)x f(一 1)。（C） |f(1)|f(-1)|。
7、（D）|f(1)|f(-1)|。二、填空题16 (2010 年) 若曲线 y=x3+ax2+bx+1 有拐点( 一 1，0) ，则 b=_。17 (2001 年) 设生产函数为 Q=ALK，其中 Q 是产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投入量，而 A， 均为大于零的参数，则当 Q=1 时 K 关于 L 的弹性为_。18 (2009 年) 设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，其对价格 p 的弹性 p=02，则当需求量为 10 000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加_元。19 (2014 年)设某商品的需求函数为 Q=40 一 2P(P 为商品价格)，则该商品的边际收益为_。20 (20
8、17 年) 设生产某产品的平均成本 =1+e-Q，其中 Q 为产量，则边际成本为_。21 (1998 年) =_22 (2014 年) 设 则 a=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 (2012 年) 证明： 一 1x1。24 (2014 年) 设函数 f(x)， g(x)在区间a，b 上连续，且 f(x)单调增加，0g(x)1 ，证明：( )0axg(t)dtx 一 a，x a,b() abf(x)g(x)dx。25 (2011 年) 证明方程 4arctanxx+ 恰有两实根。26 (2017 年) 已知方程 在区间(0，1)内有实根，试确定常数 k 的取值范围。2
9、7 (1998 年) 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定 t=0)就售出，总收入为R0(元)。如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为 。假定银行的年利率为 r，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求 r=006 时的 t 值。28 (2004 年) 设某商品的需求函数为 Q=1005P，其中价格 P(0，20)，Q 为需求量。(I)求需求量对价格的弹性 Ed(Ed0)；()推导 =Q(1 一 Ed)(其中 R 为收益)，并用弹性 Ed 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加。29 (2013 年) 设生产某产品的固定成本为 60 000 元，
10、可变成本为 20 元件，价格函数为 p= (p 是单价，单位：元；Q 是销量，单位：件)。已知产销平衡，求：( )该商品的边际利润；() 当 p=50 时的边际利润，并解释其经济意义；( )使得利润最大的定价 p。30 (2015 年) 为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设 Q 为该商品的需求量，P 为价格， MC 为边际成本， 为需求弹性( 0)。(I) 证明定价模型为 () 若该商品的成本函数为 C(Q)=1600+Q2，需求函数为 Q=40一 P，试由(I)中的定价模型确定此商品的价格。31 (2016 年) 设某商品的最大需求量为 1 200 件，该商品的需求函数为
11、 Q=Q(p)，需求弹性 ，p 为单价(万元)。(I) 求需求函数的表达式； () 求 p=100万元时的边际收益，并说明其经济意义。32 (2016 年) 设函数 f(x)=01|t2x2|dt(x0) ，求 f(x)，并求 f(x)的最小值。33 (2002 年) 设34 (2009 年) 计算不定积分35 (2011 年) 求不定积分考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)=6x2 一 18x+12=6(x 一 1)(x 一 2)，知可能极值点为x=1，x=2，当 x
12、1 和 x2 时，函数单调增加，1x2 时，函数单调减小，且f(1)=5 一 a， f(2)=4 一 a。 可见当 a=4 时，f(1)=1 0，且 =一 ，由单调性和零点存在性定理可知，函数在(-，1)上有唯一的零点，而此时 f(2)=0，在(1，2)和(2， +)上无零点，因此 a=4 时，f(x) 恰好有两个零点。故应选 B。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 又函数 f(x)的导数在 x=a 处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限且等于函数在该点的值，所以 f(a)=0，于是 即 f(a)=0，f“(a)=一 10，根据判定极值的第二充分条件知 x=a 是
13、 f(x)的极大值点，因此，正确选项为 B。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 令 (x)=x(x 一 1)，则 (x)= 是以直线 x= 为对称轴，顶点坐标为 开口向上的一条抛物线，与 x 轴相交的两点坐标为(0，0)，(1，0)，f(x)=|(x)|的图形如图。 点 x=0 是极小值点又在点(0，0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点(0，0)是拐点，选 C。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=sinx+xcosxsinx=xcosx ，显然 f(0)=0， 又 f“(x)=cosxxsinx，且 f“(0)=10， 故 f(0)是
14、极小值， 是极大值。应选 B。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 fg(x)=fg(x).g(x)。 fg(x)“=fg(x).g(x)=f“g(x).g(x)2+fg(x).g”(x)。 由于 g(x0)=a 是 g(x)的极值，所以 g(x0)=0，所以 fg(x 0)“=fg(x0).g“(x0)=f(a).g“(x0)。 由于 g“(x0)0，故要使 fg(x0)“0，必须有 f(a)0。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 拐点是连续函数凹凸性的分界点，由于函数是二阶可导的(0 点除外)，所以可知二阶导数大于 0，函数为凹函数；二阶导数小于 0，函数
15、是凸函数。所以只需要从图象上找到在某点两端二阶导数异号。显然这样的点共有两个，所以答案为 C。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 由图可知曲线有两个点的左、右导数符号不一样，有三个点左、右导函数单调性不一样，故有 2 个极值点，3 个拐点。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 所以 x=0 为垂直渐近线；所以 y=0 为水平渐近线；于是有斜渐近线 y=c。故应选 D。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 所以 x=1 为垂直渐近线。 所以 y=1 为水平渐近线，没有斜渐近线，共两条，选 C。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题
16、解析】 对于 y= ，所以有斜渐近线 y=x。现在说明其他几个选项没有渐近线：首先，A ，B 中的函数都是连续的，故没有垂直渐近线，D 中的函数只有一个振荡间断点 x=0，也没有垂直渐近线。其次， 可知 B，D 中的曲线都没有斜渐近线与水平渐近线，而 不存在，可知 A 中曲线也不存在斜渐近线与水平渐近线。综上所述 A，B，D 中的曲线都没有渐近线。因此，选 C。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【试题解析】 商品需求弹性的绝对值等于故选 D。【知识模块】 微积分12 【正确答案】 A【试题解析】 应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性。f(x)的原函数F(x)可以表示为 F(x)
17、=0xf(t)dt+C，于是当 f(x)为奇函数时，f(一 u)=一f(u)，从而有 F( 一 x)=0xf(u)du+C=0xf(t)dt+C=F(x)，即 F(x)为偶函数。故 A 为正确选项。 B ，C，D 可分别举反例如下：f(x)=x 2 是偶函数，但其原函数不是奇函数，可排除 B；f(x)=cos 2x 是周期函数，但其原函数不是周期函数，可排除 C；f(x)=x 在区间(一，+)内是单调增函数，但其原函数 在区间(一，+)内非单调递增函数，可排除 D。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 C【试题解析】 任取 x0，x(0，1) ，根据题意可知 f(x)在x 0，x上满足拉格朗
18、日中值定理条件，因此有 f(x)一 f(x0)=f()(x-x0)。 则 |f(x)|f(x 0)|+|f()|x 一 x0| |f(x0)|+|f()|， 因此若|f()|有界，f(x)在(0，1) 内有界。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 C【试题解析】 已知 f(x)是 一 3，3上的连续奇函数，从而 F(x)=0xf(t)dt 是一 3，3上的偶函数。于是 F(一 3)=F(3)=F(2)+23f(t)dt。由定积分几何意义知 F(2)=02f(t)dt= ，代入得 F(一 3)= 应选 C。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 C【试题解析】 令 F(x)=f2(x)，则 F
19、(x)=2f(x)f(x) 0，故 F(x)单调递增，则 F(1)F(-1)，即f(1) 2f(-1) 2，从而|f(1)| |f(-1)| 。【知识模块】 微积分二、填空题16 【正确答案】 3【试题解析】 y=x 3+ax2+bx+1， y=3x 2+2ax+b， y“=6x+2a，令 y“=0，得，所以a=3。 又因为曲线过(一 1，0)点，代入曲线方程，得 b=3。【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 由 Q=ALK，当 Q=1 时，即 ALK=1，有 于是 K 关于 L 的弹性为：【知识模块】 微积分18 【正确答案】 8 000【试题解析】 本题考查弹性和微分的经济
20、学意义。根据已知收益函数为 R=pQ(p)，对收益函数作微分得当 Q=10 000，dp=1 时，产品的收益会增加 dr=8 000(元)。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 20 一 Q【试题解析】 由题意可知，收益 边际收益【知识模块】 微积分20 【正确答案】 C(Q)=1+e -Q(1 一 Q)【试题解析】 根据平均成本的定义可知 则总成本为 C(Q)=Q(1+e-Q)，因此边际成本为 C(Q)=1+e-Q(1 一 Q)。【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【试题解析】 由分部积分公式，【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【试题解析】 由分部积分法，可得【知识模块】 微积分
21、三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 (I)因为 0g(x)1，所以由定积分比较定理可知， ax0dtaxg(t)dtax1dt，即 0axg(t)dtx 一 a 成立，xa ，b。()令 F(x)=axf(t)g(t)dt且 F(a)=0。 F(x)=f(x)g(x)一 fa+axg(t)dtg(x)=g(x)f(x)-fa+axg(t)dt，由(I) 可知 axg(t)dtx 一 a，所以 a+axg(t)dtx。f(x) 是单调递增函数，可知 f(x)一fa+axg(t)dt0。 又因为 0g(x)1，所以 F(x)
22、0，即 F(x)单调递增，所以 F(b)F(a)=0，得证。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 分母恒大于零，令 g(x)=(1+x)ln2(1+x)一 x2，可得 g(x)=ln 2(1+x)+2ln(1+x)一 2x，故 g(x)在0，1上单调递减，从而 x(0，1)时，g(x)g(0)=0，g(x) 在0，1上单调递减，从而 x(0，1)时，g(x)g(0)=0，因此有 f(x)0，可知 f(x)在(0，1)上单调递减，从而【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由连续复利公式知，这批酒在窖藏 t 年末售出总收入 R 的现值为A(t)=Re-r
23、t，而由题设，t 年末的总收入根据极值的第二充分条件，知 t=t0 是 A(t)的极大值点，又因驻点唯一，所以也是最大值点。故窖藏年出售，总收入的现值最大。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 () 需求量对价格的弹性为 ()由 R=PQ，得 又由 得 P=10。当10P20 时， Ed1，于是 ，故当 10P 20 时，降低价格反而使收益增加。【知识模块】 微积分29 【正确答案】 () 成本函数为 C(Q)=60 000+20Q，收益函数为()当 p=50 时，销量 Q=10 000，L(10 000)=20 ，其经济意义为销售第 10 001 件商品的时候所得到的利润为 20 元。()
24、 令 ，解得 Q=20 000，且 L“(20 000)0，因此当 Q=20 000 件时利润最大，此时 p=40(元)。【知识模块】 微积分30 【正确答案】 (I)利润 L=QPC。由弹性的定义可知当利润最大时，必有()因为 C(Q)=1 600+Q2，所以 MC=2Q，又因为Q=40 一 P，所以 从而 解得P=20。【知识模块】 微积分31 【正确答案】 (I)根据弹性的计算公式得 由已知可得由已知得 p120，则两端同时积分得 lnQ=ln(120 一 p)+C，即 Q=C(120 一 p)。 由于最大需求量为 1 200 件，即Q(0)=1 200，故得 C=10，则有 Q=10(120 一 p)。 ()收益函数表达式为R=Qp=10(120 一 p)p，则边际收益故有 =80。它的经济意义是需求量每提高 1 件，收益增加 80 万元。【知识模块】 微积分32 【正确答案】 当 0x1，有 f(x)= 0x(x2t2)dt+x1(t2x2)dtx1 时，f(x)= 01(x2 一 t2)dt= 则由导数的定义可知 f(1)=2，故【知识模块】 微积分33 【正确答案】 令 u=(sinx)2，则有【知识模块】 微积分34 【正确答案】 【知识模块】 微积分35 【正确答案】 令 x=sin2t，dx=2sintcostdt。因此【知识模块】 微积分
