1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X 和 Y 为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f1(x)，f 2(x)，它们的分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，则( )（A）f 1(x)+f2(x)为某一随机变量的密度函数（B） f1(x)f1(x)为某一随机变量的密度函数（C） F1(x)+F1(x)为某一随机变量的分布函数（D）F 1(x)F2(x)为某一随机变量的分布函数2 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)如果随机变量 X 与一 X 分布函数相同，则( )（A）
2、F(x)=F( 一 x)（B） F(x)=一 F(一 x)（C） f(x)=f(一 x)（D）f(x)=一 f(一 x)3 设随机变量 x 的密度函数为 f(x)= (a0，A 为常数)，则PaX a+b的值( )（A）与 b 无关，且随 a 的增加而增加（B）与 b 无关，且随 a 的增加而减少（C）与 a 无关，且随 b 的增加而增加（D）与 a 无关，且随 b 的增加而减少4 设随机变量 XN(， 2)，则 P(X 一 2)( )（A）与 及 2 都无关（B）与 有关，与 2 无关（C）与 无关，与 2 有关（D）与 及 2 都有关5 设 XN(，4 2)，YN(，5 2)，令 P=P(
3、X 一 4)，q=P(Y+5) ，则( )（A）pq（B） pq（C） p=q（D）p，q 的大小由 的取值确定6 设随机变量 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有( )（A）F(a+)+F(a 一 )=1（B） F(+a)+F( 一 a)=1（C） F(a)+F(一 a)一 1（D）F(a )+F( 一 a)=17 设随机变量 XU1，7，则方程 x2+2Xx+9=0 有实根的概率为( )（A）（B）（C）（D）0二、填空题8 设随机变量 X 的分布律为 X ，则 c=_9 设随机变量 XN(，)，且方程 x2+4x+X=0 无实根的概率为 ，则=_10 设 XB(2
4、，p)，YB(3，p)，且 P(X1)= ，则 P(Y1)=_11 设 XN(2， 2)，且 P(2X4)=04，则 P(X0)=_12 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 P(X=0)= P(X=1)，则 P(X1)= _13 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，且 E(X 一 1)(X+2)3=8，则=_14 设随机变量 X 的密度函数为 ，则 a=_15 一工人同时独立制造 3 个零件，第 k 个零件不合格的概率为 (k=1，2，3)，以随机变量 X 表示 3 个零件中不合格的零件个数，则 P(X=2)=_16 设随机变量 X 的分布律为 ，则 Y=X2+2 的分布律为_17
5、 设随机变量 XN(0，1)，且 Y=9X2，则 Y 的密度函数为_18 设随机变量 X 的概率密度函数为 fX(x)= ，则 Y=2X 的密度函数为fY(y)= _19 设离散型随机变量 X 的分布函数为 则 Y=X2+1 的分布函数为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路 121，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布21 设袋中有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个球中的新球个数，求 X 的分布律与分布函
6、数22 23 设 X 的密度函数为 f(x)= ，求 k 的取值范围24 有三个盒子，第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球 3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以X 表示红球个数。(1)写出 X 的分布律； (2)求所取到的红球数不少于 2 个的概率25 设连续型随机变量 X 的分布函数为 (1)求常数A，B； (2)求 X 的密度函数 f(x)； (3)求26 设某个系统由 6 个相同的元件先经过两两串联再并联而成，且各元件工作状态相互独立每个元件正常工作时间服从 E()(0)分布，求系统正常工作时间 T 的概率分
7、布27 28 设 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(a)+F(a)与 1 的大小关系29 设 XN(0，1) ，Y=X 2，求 Y 的概率密度函数30 设 XU(0，2) ，Y=X 2，求 Y 的概率密度函数考研数学三（概率统计）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 可积函数 f(x)为随机变量的密度函数，则 f(x)0 且 +f(x)dx=1，显然(A)不对，取两个服从均匀分布的连续型随机变量的密度函数验证，(B)显然不对，又函数 F(x)为分布函数必须满足： (1)0F(x)1
8、；(2)F(x)单调不减；(3)F(x)右连续；(4)F(一)=0，F(+)=1，显然选择 (D)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 C【试题解析】 F X(x)=P(Xx)=x(t)dt， F X(x)=P(Xx)=P(X一 x)=1 一 P(X一 x)一 1 一 xf(t)dt， 因为 X 与一 X 有相同的分布函数，所以 xf(t)dt=1 一 xf(t)dt， 两边求导数，得 f(x)=f(一 x)，正确答案为 (C)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 +f(x)dx=1，所以 a+Aexdx=1，解得 A=ea 由P(aXa+b)= aa+bf(x)dx
9、=aa+beaexdx=一 eaexaa+b=1 一 eb， 得 P(aX a+b)与 a 无关，且随 b 的增加而增加，正确答案为 (C)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 P(X 一 2)=P(一 2X 2)=为常数，所以应该选 A【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 C【试题解析】 得 p=q，选 C【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 XN(， 2)，所以 F(a+)+F( 一 a)=，选B【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率统计二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 由【知识模块】 概率统计9
10、 【正确答案】 4【试题解析】 因为方程 x2+4x+X=0 无实根，所以 164X0，即 X4 由xN(， 2)且 P(X4)= ，得 =4【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 0.1【试题解析】 【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 1 一 e2【试题解析】 P(X1)=1 一P(X=0)=1 一 e2【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 【试题解析】 令 Ak=第 k 个零件不合格)(k=1，2，3)，【知识
11、模块】 概率统计16 【正确答案】 【试题解析】 Y 的可能取值为 2，3，6，【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 【试题解析】 F Y(y)=P(Yy)=P(9X2y) 当 Y0 时，F Y(y)=0； 【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 X 的可能取值为 1，2，3，【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 当 k0 时，P(Xk)=1
12、，所以 1k3【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 (1)因为连续型随机变量的分布函数是连续的，【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 设 Ti=第 i 个元件的正常工作时间)，T iE()，i=1，2，6 F(t)=PTt)，注意Tt 表示系统在 0，t内一定正常工作 则Tt)=(T 1t+(T2t)(T3t+T4t)(T5t)+T6t)， 又 T1，T 2， T6 相互独立同分布，所以有 F(t)=PTt=P(T1t+T2t)。 而 P(T1t)+T2t)=1 一 PT1t ，T 2t 【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 则当 0 时，F(a)+F(一 a)1； 当 =0 时，F(a)+F( 一 a)=1； 当 0 时，F(a)+F(一 a)1【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 【知识模块】 概率统计
