1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 49 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列事件中与 A 互不相容的事件是( )2 设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则( )（A）P(C)P(A)+P(B)一 1（B） P(C)P(A)+P(B)一 1（C） P(C)=P(AB)（D）P(C)=P(A B)3 设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是 ( )（A）A 与 BC 独立（B） AB 与 AC 独立（C） AB 与 AC 独立（D）AB 与 AC 独立4 假设 F(x)是随机变量 X 的分布函数，
2、则下列结论不正确的是( )（A）如果 F(a)=0，则对任意 x0 有 F(x)=0（B）如果 F(a)=1，则对任意 xn 有 F(x)=1（C）如果 F(a)= ，则 Pxa=（D）如果 F(a)= ，则 PXa=5 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，其分布函数为 F(x)，则有( )（A）F(+x)+F( 一 x)=1（B） F(x+)+r(x 一 )=1（C） F(+x)+F( 一 x)=0（D）F(x+)+F(x 一 )=06 设随机变量 X 和 Y 独立同分布，已知 PX=k=p(1 一 p)k1，k=1 ，2， ，0p1，则 PXY 的值为( )7 设随机变量 X1，X
3、 2，X n(n1)独立同分布，且其方差 20，令 Y=则( )（A）Cov(X 1，Y)=（B） Cov(X1，Y)= 2（C） D(X1+Y)= 2（D）D(X 1Y)= 28 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于( )（A）一 1（B） 0（C）（D）19 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 D(Xi)=1，i=1，2， ，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得( )10 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n 为取自总体 X 的简单随机样本， 一为样本均值，S 2 为
4、样本方差，则 ( )（A）E( 一 S2)=2 一 2（B） E( +S2)=2+2（C） E( S2)= 一 2（D）E( S2)=+211 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其均值和方差分别为 ，S 2，则可以作出服从自由度为 n 的 2 分布的随机变量是( )二、填空题12 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概率与B 发生 A 不发生的概率相等，则 P(A)=_。13 已知事件 A、B 仅发生一个的概率为 03，且 P(A)+P(B)=05，则 A，B 至少有一个不发生的概率为_。14 已知随机变量 Y 服从0
5、，5上的均匀分布，则关于 x 的一元二次方程4x2+4Yx+Y+2=0 有实根的概率 P=_。15 已知 X 的概率密度 f(x)= ，aX+b N(0 ，1)(a0)，则常数A=_，a=_，b=_。16 已知(X，Y)的概率分布为 且 PX+Y2=1=05，则 PX2Y2=1=_。17 设(X，Y)N(，; 2， 2；0)，则 PXY=_。18 某车间生产的圆盘其直径服从区间(a，b) 上的均匀分布，则圆盘面积的数学期望为_。19 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，其中 X1 服从区间0，6上的均匀分布，X 2服从正态分布 N(0，22) ， X3 服从参数为 3 的泊松分布，则
6、D(X1 一 2X2+3X3)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率。21 设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)= 求：()A 和 B；( )X 的概率密度 f(x)。22 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 令随机变量()求 Y 的分布函数；()求概率 PXY。23 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 (0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0p1)，且中途
7、下车与否相互独立。Y 为中途下车的人数，求：()在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；()二维随机变量 (X，Y)的概率分布。24 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= ()计算两个边缘概率密度；() 求条件概率密度 fY|X(y|x=2)；()求条件概率 PY1X1。25 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从0，1上的均匀分布，试求： ()U=XY 的概率密度 fU(u)； ( )V=|XY| 的概率密度 fV()。26 某箱装有 100 件产品，其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10 件，现在从中随机抽取一件，记 试求：()随机变量 X1
8、与X2 的联合分布；() 随机变量 X1 和 X2 的相关系数 。27 设总体 XN(0， 2)，参数 0 未知，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本(n 1) ，令估计量28 设随机变量 X 与 Y 相互独立且分别服从正态分布 N(， 2)与 N(，2 2)，其中 是未知参数且 0，设 Z=X 一 Y。()求 Z 的概率密度 f(z； 2)；()设Z1，Z 2，Z n 为来自总体 Z 的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 49 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】
9、由于 与任何一个事件 A 都相互不相容，即综上分析，选项 D 正确。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件可知 C AB，于是根据概率的性质、加法公式，有 P(C)P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)P(A)+P(B)一 1。故 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 经观察，即可知由选项 A 能够推得所需条件。事实上，若 A 与 BC独立，则有 P(ABC)=P(A)P(BC)。而由题设知 P(BC)=P(B)P(C)。从而 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。故选 A。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确
10、答案】 D【试题解析】 由于 F(x)是单调不减且 0F(x)1， F(x)=PXx，因此选项A、B、C 都成立，而选项 D 未必成立，因此选 D。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 根据对称性得知故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 因为 Cov(X1，Y)=Cov(X 1， Cov(X1，X 1)+ Cov(X1，X i)。而由 X1，X 2，X n 相互独立，可得 Cov(X1，X i)=0， i=2，3， ，n 。所以 Coy(X1，Y)= Cov(X
11、1，X 1)= D(X1)= 2，故选 A。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意，Y=nX，故 XY=一 1。应选 A。一般来说，两个随机变量 X 与 Y 的相关系数 XY 满足| XY|1。若 Y=aX+b(a，b 为常数)，则当 a0 时，XY=1，当 a0 时， XY=一 1。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知 E(Xi)=0，i=1，2，n。记根据切比雪夫不等式，有故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 由 XN(， 2)，得 =，E(S 2)=2，且 和 S2 相互独立。故
12、E(S2)=E( )一 E(S2)= 一 2。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 由于总体 xN(， 2)，故各选项的第二项 2(n 一 1)，又 与 S2 独立，根据 2 分布可加性，仅需确定服从 2(1)分布的随机变量。因为N(0，1)， 2(1)。故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 由题设，有 由于 A 和 B 相互独立，所以 A 与 与 B 也相互独立，于是由 ，有即 P(A)1 一 P(B)=1 一 P(A)P(B)，可得 P(A)=P(B)。从而 解得 P(A)= 。【知识模块】 概率论与数理统计13 【
13、正确答案】 0.9【试题解析】 由题设 互斥，所以=P(A)+P(B)一 2P(AB)=03。P(A)+P(B)=0 5，于是解得 P(AB)=01，所以所求的概率为 =1 一P(AB)=101=09。【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 已知 所以所求的概率为 p=P方程有实根=P0=P16Y 216(Y+2)0=P16(Y 一 2)(Y+1)0=P(Y2)(Y一 1)=PY2+PY一 1【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 f(x)= ，故 XN(一 1，2) ，所以【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 0.3【试题解析】 由
14、于 01+02+01+02=06+=1，即 +=04， 又05=PX 2+Y2=1=PX2=0，Y 2=1+PX2=1，Y 2=0 =PX=0，Y=1+PX=0，Y=一1+PX=1，Y=0 =+0 1+01。 故 =03，=01。 那么 PX2Y2=1=PX2=1，Y 2=1=PX=1， Y=1+PX=1，Y=一 1 =02+=03。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 因为(X，Y)N(，； 2， 2；0)，所以 Xl，N(0，2 2)，从而PXY=PXY0= 。【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 设圆盘直径为 X，其概率密度为 设圆盘面
15、积为 Y，所以【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 46【试题解析】 根据题设可知，D(X 1)= =3，D(X 2)=22=4，D(X 3)=3，于是D(X12X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+44+93=46。【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 设甲、乙两艘船到达的时间分别为 x，y，并把(x，y)视为直角坐标系里的一个点的坐标，则 x，y 满足条件 0x24，0y24。所以总的基本事件数为坐标系中边长为 24 的正方形的面积，如图 314 所示。用事件 A 表示“ 两艘船中任何一艘都不需
16、要等候码头空出” ，则 x， y 满足不等式 y 一 x1，x 一 y2。则上述不等式组表示的区域为图中阴影部分的面积，即事件 A 的基本事件数。容易求得正方形面积为S=242，阴影部分面积为 s= 222+ 232，根据几何概型，可得【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 () 因 X 是连续型随机变量，所以分布函数 F(x)连续，故 F(一 a一 0)=F(一 a)，且 F(a+0)=F(a)，即 A 一 =0，且 A+ =1，解得 A= () f(x)=F(x)=【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 () 根据题意可知随机变量 Y 的取值区间为 1，2，Y 的分布函
17、数为 F(y)=PYy。当 Y1 时，F(y)=0；当 y2 时，F(y)=1；当 1y2 时，F(y)=PYy=Py1+P1Yy=PX2+P1Xy所以 Y 的分布函数为()根据概率的性质，可得 PXY=1 一PXY=1 一 PX2=1 一【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 ()PY=m | X=n=Cnmpm(1 一 p)nm，0mn， n=0，1，2， 。()P|X=n，Y=m=PX=nPY=m | X=n= eC nmpm(1 一 P)nm，0mn，n=0，1，2，。【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () 当 x0 时，f X(x)=0;当 x0 时，f X
18、(x)=x+eydy=ex，即当 y0 时，f Y(y)=0；当 y 0 时，f Y(y)=0yeydx=yey，即()f Y|X(y|x=2)= ()X1，Y1 所对应的区域如图 333 所示：【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 根据 X 与 Y 相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出 U、V 的概率密度。()分布函数法。根据题设知(X，Y) 联合概率密度 f(x，y)=f X(x)fY(y)= 所以 U=XY 的分布函数为(如图 339 所示)F U(u)=PXYu=(1)当 u0 时，F U(u)=0；当 u1 时，F U(u)=1；(2)当0u
19、1 时，F U(u)=0udx01dy+u1dx dy=u+u1 dx=uulnu。综上得()公式法。设 Z=XY=X+(一 Y)。其中 X 与(一 Y)独立，概率密度分别为根据卷积公式得 Z 的概率密度 fZ(z)=+fX(zy)fY(y)dy=10fX(zy)dyV=|XY|=|Z|的分布函数为 FV()=P|Z|，可得当 0 时，F V()=0；当 0 时，F V()=P一 Z=ufZ(z)dz。由此知，当 01 时，F V()=0(z+1)dz+0ufZ(1 一 z)dz=2 一 2；当 1 时，F V()=1fZ0dz+10fZ(z+1)dz+01(1 一 z)dz+100dz=lF
20、V()=10dz+10(z+1)dz+01(一 z)dz+10dz=1。综上可得【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 ()(X 1， X2)是二维离散型随机变量，其可能的取值为 (0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) 。当(X 1，X 2)=(0，0)时，说明随机抽取的一件不是一等品，也不是二等品，则必为三等品，故 FX1=0，X 2=0=PX3=1=01。类似地PX1=0，X 2=1=PX2=1=01，PX 1=1，X 2=0=PX1=1=08，PX 1=1，X 2=1= =0，故 X1 与 X2 的联合分布：()由()知，X1 和 X2 的边缘分布均为 01 分布。由
21、01 分布的期望和方差公式得 E(X1)=PX1=1=08，D(X 1)=PX1=1PX1=0=0802=016，E(X 2)=PX2=1=01， D(X2)=PX2=1PX2=0=0109=009，E(X 1X2)=0001+0101+1008+110=0，Cov(X 1，X 2)=E(X1X2)一 E(X1)E(X2)=一 008，则相关系数【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 () 因为 X1，X 2，X n 相互独立且与总体 X 同分布，所以E(Xi)=0，D(X i)=2，E(X i2)=2，()根据抽样分布有关结论知 再由 2 分布随机变量的方差公式有：Y 2(n)，则 D(Y)=2n。所以【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 () 因为 XN(， 2)，YN( ， 22)，且 X 与 Y 相互独立，故Z=XYN(0，3 2)。所以，Z 的概率密度为解得最大似然估计值为 ，最大似然估计量为【知识模块】 概率论与数理统计
