1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 59 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为任意两个不相容的事件且 P(A)0，P(B) 0，则下列结论正确的是( )（A）（B）（C） P(AB)P(A)P(B)（D）P(AB)P(A)2 设随机变量 Xi (i1，2)，且满足 P(X1X20)1，则P(X1X 2)等于( ) 3 设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)E(X)E(Y)，则( ) （A）X，Y 独立（B） X，Y 不独立（C） X，Y 相关（D）X，Y 不相关4 设 0P(C)1，且 P(ABC)P(AC)P(BC)，则下列正确的是
2、( )（A）（B） P(ACBC)P(AC)P(BC)（C） P(AB)P(A C)P(B C)（D）P(C)P(A)P(C A)P(B)P(C A)5 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Ymin(X，2)的分布函数( )（A）是阶梯函数（B）恰有一个间断点（C）至少有两个间断点（D）是连续函数6 设(X，Y) 服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1 ，1)，Y N(2 ，4) ，X，Y的相关系数为 XY05，且 P(aXbY1)05，则( )二、填空题7 设 A，B 为两个随机事件，则_8 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 P(X0) P(X1)，则 P(X
3、1)_9 设随机变量 XN(0， 2)，YN(0，4 2)，且 P(X1，y2) ，则P(X1，Y2)_10 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，XU1，3，Y B(10， )，ZN(1 ，3 2)，且随机变量 UX2Y3Z2，则 D(U)_ 11 设 X 为总体，E(X)，D(X) 2，X 1，X 2，X n 为来自总体的简单随机样本，S 2 ，则 E(S2)_ 12 设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)P(B)08，P(AB)06，则_13 设每次试验成功的概率为 p ，X 表示首次成功需要试验的次数，则 X 取偶数的概率为_14 设随机变量 X 的密度函数为 f(x) ，则 E(X)_
4、，D(X)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布16 设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0P1)，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人数(1)求在发车时有 n 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；(2)求(X，Y) 的概率分布17 设(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y) (1)求 a； (2)求X，Y 的边缘密度，并判断其独立性； (3)求 f
5、XY (XY)18 游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5 分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8 点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望19 一批种子良种占 ，从中任取 6 000 粒，计算这些种子中良种所占比例与 之差小于 001 的概率20 设总体 X 的密度函数为 f(x) (X1，X 2，X n)为来自总体 X 的简单随机样本(1)求 的矩估计量 ； (2)求 D( )21 有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取 4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X
6、 的分布律22 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x， y)(1)求随机变量 X， Y 的边缘密度函数；(2)判断随机变量 X，Y 是否相互独立；(3)求随机变量 ZX2Y 的分布函数和密度函数23 设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格产品销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元 )与销售零件的内径 X 有如下关系：问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大?24 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立且在0， a上服从均匀分布，令UmaxX 1，X 2，X n，
7、求 U 的数学期望与方差25 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)(0)，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，令 Y X i，求 Y 的数学期望与方差考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 59 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 不相容，所以 P(AB)0，又 P(AB)P(A)P(AB)，所以 P(AB) P(A) ，选 (D)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由题意得 P(X11，X 21)P(X 11，X 21)P(X 11， X21)P(X 11，X
8、 21)0P(X 11，X 20)P(X 11) ，P(X 1 1，X 20) P(X11) ，P(X 10，X 21)P(X 21) ，P(X 1 0，X 21) P(X21) ，故 P(X10，X 20)0，于是 P(X1X 2)P(X 11 ，X 21) P(X10，X 20)P(X 11，X 21)0，选(A)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Cov(X，Y)E(XY) E(X)E(Y)，所以若 E(XY)E(X)E(Y)，则有 Cov(X，Y) 0，于是 X，Y 不相关，选(D)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 由 P
9、(ABC)P(A C)P(BC)，因为 P(ABC)P(AC)P(BC)P(AB C)，所以 P(ABC) 0，从而 P(ABC)0，故 P(ACBC) P(AC)P(BC)P(ABC)P(AC)P(BC) ，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 F Y(y)P(Yy)Pmin(X ，2)y 1Pmin(X ，2)y1P(Xy ，2y)1P(X y)P(2y)当 y2 时，F Y(y)1；当 y2 时，F Y(y)1P(Xy)P(Xy)F X(y)，而 FX(x) 所以当 0y2 时，FY(y)1e y ；当 y0 时，F Y(y)0，即 显然FY(y)在 y
10、2 处间断，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 aXbY 服从正态分布， E(aXbY)a2b ， D(aXbY)a 24b 22abCov(X，Y) a 24b 22ab， 即aXbYN(a2b ，a 2 4b22ab)， 由 P(aXbY1)05 得 a2b 1，所以选(D)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 1e 2【试题解析】 X 的分布律为 P(Xk) 由 P(X0) P(X1) 得2,P(X1)1P(X0)1e 2 【知识模
11、块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 令X1A，Y2B，P(A)，且 P(AB) ，则P(X1，Y 2)P 1P(AB)1P(A) P(B)P(AB)1【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 由 XU1，3，YB(10， )，ZN(1 ，3 2)得 D(X) ，D(Y)10 ，D(Z)9，于是 D(U)D(X)4D(Y) 9D(Z) 1081 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 04【试题解析】 因为 P(AB)P(A) P(B)P(AB)，且 P(A)P(B)08，P(A
12、B)06，所以 P(AB)02又因为 P( B)P(B)P(AB)，P(A)P(A)P(AB)，所以 P( B)P(A )P(A)P(B)2P(AB)080404【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 由 PXk(1p) k1 p(k1，2，)(其中 p )，得【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 E(X)1，D(X) 【试题解析】 因为 f(x) ，于是 E(X)1，D(X) 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 X 1 (i1，2，3)，则 X 的可能取值为0，1，2，3P(X0)P(X 11
13、) ，P(X1)P(X 10，X 21) ，P(X2)P(X 10，X 20，X 31) ，P(X3)P(X 10，X 20，X 30) 所以X 的分布律为 X【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 (1)设 A (发车时有 n 个乘客) ，B(中途有 m 个人下车)，则P(BA)P(YmXn)C nmpm(1p) nm (0mn)(2)P(Xn，Ym)P(AB)P(BA)P(A)C nmpm(1p) nm (0mn， n0，1，2，)【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (1)由 dx f(x,y)dya 0 xdxx ey dya 0 xex dx1，得 a1(2)当
14、 x0 时，f X(x)0；当x0 时，f X(x) f(x,y)dy x xey dyxe x 于是 fX(x)当 y0 时，f Y(y)0；当 y0 时，f Y(y) f(x，y)dx oyxey dx y2ey 于是 fY(y) 因为 f(x，y)f X(X)fY(y)，所以 X，Y 不独立(3)f XY (xy)【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 因为 X0，60，所以 X 的密度函数为 f(x)游客等电梯时间设为 T，则 TE(T) T(x)f(x)dx 05(5x)dx 525(25 x)dx 2555(55x)dx 5550(65x)dx 1167(分钟)【知识模块
15、】 概率论与数理统计19 【正确答案】 设 6 000 粒种子中良种个数为 X，则 XB(6000， )，E(X)1 000，D(X) 6 000 ，P 001P( 60X1 00060)(2078)(2078)096【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 (1)E(X) xf(x)dx 0 (x)dx ，令 E(X) ，则 的矩估计量为 (2)D D(X)，因为 E(X2) x2f(x)dx 0 (x)dx ，D(X)E(X 2)E(X) 2 ，【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设 A从甲袋中取出黑球 ，X 的可能取值为 0，1，2，3，令X iB i(i0，1，2
16、，3)，则 P(X0)P(B 0)P(A)P(B 0A) P(X1)P(B 1)P(A)P(B 1A) P(X2)P(B 2)P(A)P(B2A) P(X3)P(B 3)P(A)P(B 3A) 所以 X 的分布律为 X【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 (1)f X(x) f(x,y)dy当 x0 时，f X(x)0；当 x0 时，f X(x) f(x，y)dy 0 2e(x2y) dye x 0 e2yd(2y)e x ，则 fX(x)fY(y) f(x,y)dx，当 y0 时， fY(y)0；当 y0 时，f Y(y) 0 2e(x 2y)dx2e 2y 0 ex dx2e
17、2y ，则 fY(y) (2)N 为f(x，y)f X(x)fY(y)，所以随机变量 X，Y 相互独立(3)F Z(z)P(Zz)P(X2Yz) f(x，y)dxdy，当 z0 时，F Z(z)0；当 z0 时，【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 E(T) 1P(X10)20P(10X12)5P(X12)(10)20(12)(10)51(12)25(12) 21(10)5 令21(10 )25(12 ) 0，即 0，解得11 109，所以当 109 时，销售一个零件的平均利润最大【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 F U(u)P(Uu)Pmax(X 1，X 2， ，X n)uPX 1u，X 2u，X nu E(U) ufU(u)du 0au ，E(U 2) u2fU(u)du 0au2，于是 D(U) 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计
