1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 70 及答案与解析一、填空题1 对事件 A，B，已知 P( A) ，P(B ) ，P(AB) 则 P(A)_，P(B)_2 对事件 A、B，已知 P( B)075，P( )08，P(B)03，则 P(A)_，P(AB)_，P( )_，P(AB)_，P(B A)_，P(A )_3 某城市共有 N 辆汽车，车牌号码从 1 到 N有一人将他所遇到的该城市的行辆汽车的车牌号码(可能有重复的号码)全部抄下来，假设每辆汽车被遇到的机会相同，求抄到的最大号码正好是 k(1kN)的概率为_ 4 设两两独立的三事件 A，B，C 满足条件：ABC ，P(A)P(B)P(C)
2、 ，P(ABC) 则 P(A)_5 设在 3 次独立试验中，事件 A 出现的概率均相等且 A 至少出现一次的概率为 ，则在 1 次试验中，A 出现的概率为_6 设甲、乙两人独立地射击同一目标，其命中率分别为 06 和 05则已命中的目标是被甲射中的概率为_7 设 P(A)P(B)P(C) ，P(AB)0，P(AC)P(BC) ，则 A，B，C 都不发生的概率为_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设 A，B，C 为事件，用它们来表示下列事件：(1)仅 A 发生；(2)A，B ，C 不都发生；(3)A，B ，C 都不发生；(4)A，B ，C 恰一个发生9 从 6 双不同的手套中
3、任取 4 只，求(1)恰有一双配对的概率；(2)至少有 2 只可配成一双的概率10 一袋中装有 N1 只黑球及 1 只白球，每次从袋中随机地取出一球，并换人一只黑球，这样继续下去、问第 k 次取出的是黑球的概率是多少?11 将 n 个同样的盒子和 n 只同样的小球分别编号为 1，2，n把这，n 只小球随机地投入 n 个盒子中，每个盒子中投入一只小球问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?12 对目标进行三次独立炮击第一次命中率为 04，第二次命中率为 05，第三次命中率为 07目标中一弹而被击毁的概率为 02，中两弹被击毁的概率为06，中三弹被击毁的概率为 08(1)求目标被击毁的
4、概率；(2)已知目标被击毁，求目标中两弹的概率13 在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立重复试验中，求两枚骰子点数和为 5 的结果出现在它们的点数和为 7 的结果之前的概率14 乒乓球比赛采用 5 局 3 胜制，甲、乙两人在比赛中，各局甲胜的概率为 06，且前 2 局皆为甲胜求甲最终赢得比赛胜利的概率15 设袋中有 7 红 6 白 13 个球，现从中随机取 5 个球，分(1)不放回；(2)放回两种情形下，写出这 5 个球为 3 红 2 白的概率(写出计算式即可)16 乒乓球盒中有 15 个球，其中有 9 只新球和 6 只旧球第一次比赛时任取 3 只使用，用后放回(新球使用一次就成旧球)第二次比赛时也
5、任取 3 只球，求此 3 只球均为新球的概率(写出计算式即可)17 3 架飞机(其中有 1 架长机和 2 架僚机)去执行轰炸任务，途中要过一个敌方的高炮阵地各机通过高炮阵地的概率均为 08，通过后轰炸成功的概率均为 03，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功求最终轰炸成功的概率18 设 X 和 Y 独立同分布，且均服从区间(0，1)上的均匀分布，求 的分布函数 F(u)19 设区域 D1 为以(0，0) ， (1，1) ，(0， )，( ，1)为顶点的四边形，D 2 为以( ，0)，(1，0)，(1， )为顶点的三角形，而 D 由 D1 与 D2 合并而成随机变量(X， Y)
6、在 D 上服从均匀分布，求关于 X、Y 的边缘密度 fX()、f Y(y)20 设 X 与 Y 独立同分布，P(X1)P(0，1)，P(X0)1P ，令问 P 取何值时，X 与 Z 独立?(约定：0 为偶数)21 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，都服从指数分布，参数分别为 1， 2， 3(均为正)，求 PXmin(X，Y ，Z)22 设随机变量(X，Y) 的概率密度为问 X 与 Y 是否独立?X 与Y是否独立?23 函数 F(，y) 是否是某个二维随机变量(X，Y) 的分布函数?24 设 XN(0，1) ，当给定 X 时，YN(，1 2)，(01)求(X，Y) 的分布以及给定 Yy 时，X
7、的条件分布25 证明：(1)若随机变量 X 只取一个值 a，则 X 与任一随机变量 Y 独立；(2)若随机变量 X 与自己独立，则存在 C，使得 P(XC) 126 设(X，Y)的分布函数为： F(，Y) A(Barctan )(Carctan )，y 求：(1)常数 A，B ，C； (2)(X ， Y)的密度； (3)关于 X、Y 的边缘密度27 设 X 的密度为 f() ， 求：(1)常数 C 和 X 的分布函数F(z)， (2)P(0X1)及 Y eX 的密度 fY(y)28 某种产品的次品率为 01，检验员每天独立地检验 6 次，每次有放回地取 10件产品进行检验，若发现其中有次品，则
8、作一次记录(否则不记录)设 X 为一天中作记录的次数，写出 X 的分布列29 设 X 与 Y 独立且 XN(， 2)，Y 服从 IX 间， 上的均匀分布，求ZX Y 的密度 fZ(z)30 设在时间 t(分钟) 内，通过某路口的汽车数服从参数为 t 的泊松分布已知 1 分钟内没有汽车通过的概率为 02，求在 2 分钟内有至少 1 辆汽车通过的概率考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 70 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 由 得P(A) ，又由 得P(B) 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 045；02；045；025；01；09【试题解析】 08P( )1P
9、(AB) ， P(AB)02， 又075 P( B)1P( )1P(A )1P(A)P(AB)1P(A)02 ， 得 P(A)045 ， 可得 P( )1P(A B)1P(A)P(B) P(AB)1(0 450302)045， P(A B)P(A)P(AB)025，P(B A)P(B)P(AB)01， P(A )1P( B)1P(B)P(AB)09【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 【试题解析】 设 P(A)，则 P(A BC)P(A)P(B) P(C) P(AB)P(AC)P(BC) P(ABC)33 2，解得 【知识模块】 概率论
10、与数理统计5 【正确答案】 【试题解析】 设 1 次试验中 A 出现的概率为 p，则 PA 至少出现 1 次1PA 出现 0 次 1 C30.p0.(1P) 3-01(1p 3)，故 p 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 记 A 甲击中目标 ，B 乙击中目标，C 目标被击中，则P(C)P(AB)P(A)P(B)P(AB)060 5060508，所求概率为 P(AC) ，注意 A C， P(AC)P(A)06，故 P(AC) 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 P( ) 1P(A BC)1P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)
11、P(ABC) 1 【知识模块】 概率论与数理统计二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 记 Ai第 i 次取得黑球，i1，2，k，则 A1A2Ak-1， 故 A 1A2Ak-1 ， P( )P(A 1A1 )P( A 1Ak1)P(Ak-1A 1Ak-2)P(A2A 1)P(A1) ， 得 P(Ak)1P( )1【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 记 Aii 号小球投人到 i 号盒中 ，i1，2，n则所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案
12、】 (1)记 Ai 第 i 次射击时击中目标(i1，2，3)，B目标被击毁，则02(0 4050306050 3060507)06(0 4050304050 7060507)080 40507043； (2)P(A 1A2 A1 A3 A2A3B) 0 6(040 50 3040507060507)0572093023【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 记 Ai第 i 次抛时点数之和为 5，B i第 i 次抛时点数之和为7， 则 P(Ai) ，P(B i) ， 而 A1B1 ，P( )1P(A iBi)1P(A i)P(B i) ，i1，2， 又记 C1A 1，C kAk，(k2
13、，3，) 而诸 Ai，A j，B k，B l(在 i，j ，k，l 互不相等时)相互独立， 故 P(Ck) ，(k1，2，) 注意诸 Ck 两两不相容，故所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 记 Ai第 i 局甲胜，i3，4，5所求概率为 P(A3A4A5)1P( )1 1 04 30936【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 记 Ai第 1 次取的 3 只球中有 i 只新球， B 第 2 次取的 3 只球均为新球，则 P(Ai) ， P(BA i) ，i0，1，2，3 则 P(B)P(BA i)P(Ai) (
14、C63C93C 62C91C83C 61C92C73C 93C62)【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 设长机为 A，另 2 架僚机分别为 B、C，记 A1A 通过高炮阵地，B 1 B 通过高炮阵地 ，C 1C 通过高炮阵地，A 2A 轰炸成功 ，D 最终轰炸成功 ，由题意 ，得 0208P( A 1)， 又 P( A 1P( A2A 1)P( A 1)007P( )，又0 7 208 2070 802210 2 205776。代回可得 P(D)0476544【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 由题意，(X，Y)的概率密度为则 F(u)P(u) P( u) U0 时
15、，F(u)0； U0 时，F(u)1； 0u 时，F(u)其中 G 见图 1 中阴影部分；其中 D 见图 2 中阴影部分【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 易算得 D1 的面积为 ，D 2 的面积为 ，故 D 的面积为 ， (X，Y)的概率密度为 fX() f(，y)dy 当0 或 1 时， f()0； 当 0 时，f X() 2dy1 当 1 时，f X() 2dy 12dy1 而 fY(y) f(，y)d 当 y0 或 y1 时，f Y(y)0； 当 0y 时，f Y(y) 0y2d 2d1； 当 y1 时，f Y(y) 2d 1故【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答
16、案】 P(Z0)P(XY1)P(X0， Y1)P(X1，Y 0)2p(1 p) P(Z1)P(XY0) P(X Y1) P(X0，Y 0)P(X1，Y1)(1 p)2P 2 而 P(X0，Z0)P(X0，Y1)P(X0)P(Y1)P(1p) 如果P(X0，Z0)P(X0)P(Z0)，则须 p(1P) (1p).2p(1p) 解得 p 不难验算出，p 时，P(X0，Z1)P(X0)P(Z1) ，P(X1，Z 0)P(X1)P(Z0) ，P(X1，Z1)P(X1)P(Z1) 故知当且仅当P 时，X 与 Z 独立【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由已知可得：(X，Y，Z)的概率密度为
17、PXmin(X，Y，Z)PXY ，XZ (，y，z)ddydz 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 关于 X 的边缘密度为 fX() f(，y)dy 若1，则fX()0；若 1，则 fX() 关于 Y 的边缘密度为fY(y) f(，y)d 若 y1，则 fY(y)0；若y1，则 fY(y)即 X 与 Y不独立 而(X，Y)的分布函数为 F(，y)PX ，yy 当 0或 y0 时，F(，y)0； 当 0，y0 时，F(，y)P X，yYy duy yf(u，v)dv 当 1，y1 时，F( ，y) 1 1du1 1 dv1： 当01 ，y1 时，F(，y) du dv； 当 1，0
18、y1 时，F(，y) 11duy y dvy； 当 0 1，0y1 时，F(，y) duy y dvy故 于是，关于X的(边缘) 分布函数为： 而关于y的(边缘) 分布函数为：可见 FX ().F y (y)F(， y) (，y) R2，即X与Y相互独立【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 令 ac0，bd2，则 ab，cd，但F(b，d)F(a，d) F(b，f)F(a ，c)111010，可见 F(，y)不是随机变量的分布函数【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由题意，X 的概率密度为 () ， 而已知 X 条件下，Y 的条件概率密度为 fYX (y) ， 故(X
19、 ，Y)的概率密度为 f(，y)()f YX (y) ， 可见(X， Y)服从二维正态分布，且 EXEY 0，DXDY1，(X，Y)的相关系数为 故 YN(0，1) ，Y 的概率密度为 (y)， 故 Yy 的条件下 X 的条件概率密度为 fX Y(y) yR1， R1【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (1)a 时，P(X)0， 故 P(X，Yy) P(X)P(Yy)0；a 时，P(X) 1， 故 P(X，Yy)P(Yy)P(X)P(Yy) yR1 即y(，y) R1，有 P(X，Yy)P(X)P(Yy)，即 X 与 Y 独立； (2)由已知得：(，y) R2，有 P(X，Yy)
20、P(X)P(Yy)，记 X 的分布函数为 F()，则 F()P(X) 前式中令 y 即得 F()F() 2，可见 F(z)只能取 0 或 1，又由 F()0，F()1，知必存在 C(常数)，使得 故 PXC1【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 (1)0 F( ，y)A(B )(Carctan )，yR1，0F( ，)A(Barctan )(C )， R1，1F( ，)A(B )(C ) 上边 3 式联立可解得 A ，BC ； (2)(X，Y) 的概率密度为 f(，y)(3)关于 X 的边缘分布函数为 FX()F(，) ， R1， 关于 Y 的边缘分布函数为 FY(y)F( ，y)
21、 ，y R1， 故关于 X 的边缘概率密度为 fX()F X() ， R1， 关于 Y 的边缘概率密度为 fY(y)F Y(y) ，yR 1【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 Y 的分布函数为 FY(y)PYyPe X y 显然，y0 时，F Y(y)0，y1 时，FY(y)1，这时 fY(y)F Y(y)0； 当 0y1 时，F Y(y)P X lnyPX lny1P(lnyXlny 1 lny-lnyf()d， 则 fY(y)F Y(y)f(lny)( f(lny). f(lny)f(lny)， 注意到 f()是一偶函数， 故fY(y) f(lny) 即 fY(y)【知识模块
22、】 概率论与数理统计28 【正确答案】 设检验员取出的 10 件产品中有 Y 件次品，则 YB(10，01)(即 Y 服从参数为(10 ，0 1)的二项分布) ，而 X B(6，P) 。 其中 PPY11PY0PY11C 100.01 0.09 10-0C 101.01 1.09 10-102639，故 P(Xk)C 6k02639 k07361 6-k，k0，1，2，6【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 由题意，X 的概率密度为 fX() ，Y 的概翠密度为故 fZ(z) fX(zy)f Y(y)dy作代换， (这是 y 与 t 的变换)，则【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 设 t 分钟内通过该路口的汽车数为 X(t)， 则由题意知02P(X(1)0) e ，ln5， 故 PX(2)11PX(2)01 e.2 1e 2ln5 1 【知识模块】 概率论与数理统计
