1、考研数学三（矩阵及其运算）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 是 n 阶矩阵，则 C= 的伴随矩阵是2 设 A，B，C 是 n 阶矩阵，且 ABC=E，则必有（A）CBA=E（B） BCA=E（C） BAC=E（D）ACB=E3 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B-C=（A）E （B） -E（C） A（D）-A二、填空题4 已知 n 阶行列式A= ，则A 的第 k 行代数余子式的和 Ak1+Ak2+Akn=_5 已知 A= ，则(A *)-1=_6 已知 A= ，
2、则 A-1=_7 设 A，B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=A-2B，B=，则(A+2E) -1=_8 设 A= ，B=(E+A) -1(E-A)，则(E+B) -1=_9 如 A3=0，则(E+A+A 2)-1=_10 设 3 阶方阵 A，B 满足 A-1BA=6A+BA且 A= ，则 B=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 A 为 n 阶可逆矩阵，证明：(A *)*=A n-2A12 设 A 是 n 阶正交矩阵，证明 A*也是正交矩阵13 已知 A 是 3 阶非零矩阵，且 aij=Aij( =1，2， 3)，证明 A 可逆，并求A 14 求 A=
3、的逆矩阵15 已知 A 是 n 阶对称矩阵，且 A 可逆，如(A-B) 2=E，化简(E+A -1BT)T(E-BA-1)-116 设 A 是 n 阶矩阵，若 A2=A，证明 A+E 可逆17 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，证明 A-E 可逆18 已知 X，Y 是相互正交的 n 维列向量，证明 E+XYT 可逆19 设 A，B 是 n 阶矩阵，E-AB 可逆，证明 E-BA 可逆20 设 H= ，其中 A，B 分别是 m 阶和 n 阶可逆矩阵，证明：矩阵 H 可逆，并求其逆 H-121 已知 ，求 A22 已知 ，求 X23 设 4 阶矩阵 满足关系式 A(E-C-1B)TC
4、T=E，求 A24 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ，且 ABA -1=BA-1+3E 求矩阵 B25 已知 A= 若=8A -1B+12E， 求矩阵 B考研数学三（矩阵及其运算）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 CC*=CE=AB E，因此应选(D)另外，作为选择题不妨附加条件 A，B 可逆，那么【知识模块】 矩阵及其运算2 【正确答案】 B【试题解析】 由 ABC=E 知 A(BC)=(BC)A=E，或(AB)C=C(AB)=E，可见(B)正确由于乘法不一定能交换，故其余不恒成立【知识模块】 矩阵及
5、其运算3 【正确答案】 A【试题解析】 由那么 B-C=(E-A)-1-A(E-A)-1=(E-A)(E-A)-1=E(或 B-C=B-AB=E)故选(A)【知识模块】 矩阵及其运算二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 若依次求每个代数余子式再求和，这很麻烦我们知道，代数余子式与伴随矩阵 A*有密切的联系，而 A*与 A-1 又密不可分对于 A 用分块技巧，很容易求出 A-1由于又因 A*=AA -1，那么【知识模块】 矩阵及其运算5 【正确答案】 【试题解析】 由 AA*=AE，有【知识模块】 矩阵及其运算6 【正确答案】 【试题解析】 A= =5B-1，求 B-1 可用公式(212)【
6、知识模块】 矩阵及其运算7 【正确答案】 【试题解析】 由 AB=A-2B 有 AB+2B=A+2E-2E，得知(A+2E)(E-B)=2E ，即(A+2E). (E-B)=E故(A+2E) -1= (E-B)【知识模块】 矩阵及其运算8 【正确答案】 【试题解析】 由于 B+E=(E+A)-1(E-A)+E=(E+A)-1(E-A)+(E+A)-1(E+A) =(E+A)-1(E-A)+(E+A)=2(E+A)-1，故 (B+E) -1= (E+A)【知识模块】 矩阵及其运算9 【正确答案】 E-A【试题解析】 注意(E-A)(E+A+A 2)=E-A3=E【知识模块】 矩阵及其运算10 【
7、正确答案】 【试题解析】 由题设知，A 可逆然后在题设关系式两端右乘 A-1 有：A -1B=6E+B，在该式两端左乘 A，得 B=6A+AB移项得(E-A)B=6A，则 B=6(E-A)-1A于是由【知识模块】 矩阵及其运算三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 用伴随矩阵 A*替换关系式 AA*=AE 中的矩阵 A，得到 A *(A*)*=A *E 由于A *=A n-1，从 A 可逆知 A*可逆又因(A *)-1= ，于是得到(A *)*= A*(A *)-1=A n-2A. =A n-2A【知识模块】 矩阵及其运算12 【正确答案】 由 AAT=E，从行列
8、式乘法公式知 A 2=A.A T=1又因A-1=AT， 于是 A*=AA -1=AA T，那么 A*(A*)T= AA T.AA=A 2ATA=E 类似地(A *)TA*=E所以，A *是正交矩阵【知识模块】 矩阵及其运算13 【正确答案】 因为 A 是非零矩阵，不妨设 a110，那么按第一行展开，并将aij=Aij 代入，即有 所以，A 可逆 由于 A= =(A*)T，即 AT=A*，那么对AA*=AE 两边取行列式，有 A 2=A. AT=A E=A 3，得A 2(A-1)=0 从而A=1【知识模块】 矩阵及其运算14 【正确答案】 用伴随矩阵(210)，得【知识模块】 矩阵及其运算15
9、【正确答案】 原式=E T+(A-1BT)TAA-1-BA-1-1=E+B(A-1)T(A-B)A-1-1=E+B(AT)-1A(A-B)-1=(E+BA-1)A(A-B)=(A+B)(A-B)【知识模块】 矩阵及其运算16 【正确答案】 由于 A2=A，故 A2-A-2E=-2E，那么 (A+E)(A-2E)=-2E，即按定义可知 A+E 可逆【知识模块】 矩阵及其运算17 【正确答案】 由 AB=A+B 有 AB-B-A+E=E，于是 (A-E)B-(A-E)=E故(A-E)(B-E)=E所以按定义知 A-E 可逆【知识模块】 矩阵及其运算18 【正确答案】 记 A=XYT，则 A2=(X
10、YT)(XYT)=X(YTX)YT=0，于是 A 的特征值全是 0，那么 E+A 的特征值全是 1，所以 E+XYT 可逆【知识模块】 矩阵及其运算19 【正确答案】 (反证法) 如E-BA=0 ，则齐次方程组 (E-BA)x=0 有非零解，设 是其非零解，则(E-BA)=0，即 BA=，且 0 (*)对于齐次方程组(E-AB)x=0，由于(E-AB)A=A-(AB)A-A-A(BA)=A-A=0，从(*)式易见 A0这样(E-AB)x=0 有非零解 A，这与 E-AB 可逆相矛盾【知识模块】 矩阵及其运算20 【正确答案】 因为 A，B 均可逆，由拉普拉斯展开式 (16)有所以矩阵 H 可逆
11、设 H-1=解得 X=A-1，Y=O，Z=-B -1CA-1，W=B -1故【知识模块】 矩阵及其运算21 【正确答案】 由于【知识模块】 矩阵及其运算22 【正确答案】 记 A= ，用初等行变换(214) ，得从增广矩阵的第一列解出 x 3=2， x 2=t， x 1=-3t-1同理 y 3=0，y 2=u，y 1=4-3u， z3=5，z 2=v， z 1=-3v-11，故 X= ，其中 t，u，v 为任意常数【知识模块】 矩阵及其运算23 【正确答案】 由于 A(E-C-1B)TCT=AC(E-C-1B)T=A(C-B)T，于是 A=(C-B)T-1=【知识模块】 矩阵及其运算24 【正
12、确答案】 由A *=A n-1，有A 3=8，得A=2 又因(A-E)BA -1=3E，有(A-E)B=3A ，左乘 A*，得 (AE-A *)B=3AE ，即(2E-A *)B=6E故B=6(2E-A*)-1 【试题解析】 对矩阵方程化简，右乘 A 得 AB-B=3A (A-E)B=3A由于已知条件是 A*，可继续变形，用 A*左乘上式并用关系式 AA*=A*A=AE 得 B=3A( AE-A *)-1因此，应先求出A，再求逆【知识模块】 矩阵及其运算25 【正确答案】 由于A=4，用矩阵 A 左乘方程两端，有因为AA*=AE=4E， AA=A，故 4BA=8B+12A，即 B(A-2E)=3A那么 B=3A(A-2E) -1【试题解析】 由于(kA) *=kn-1A*， (A *)*=A n-2A，可见又 AA*= AE，只要先求出A 的值，就可把矩阵方程化简【知识模块】 矩阵及其运算
