1、考研数学三（行列式）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 =（A）30m（B） -15m（C） 6m（D）-6m 2 设 A 是 n 阶矩阵，则A *A= 3 设 A 是 n 阶矩阵，则(2A) *=（A）2 nA *（B） 2n-1A *（C）（D）4 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a ，B=b，若 C= ，则C =（A）-3ab（B） 3mab（C） (-1)mn3mab（D）(-1) (m+1)n3mab5 x=-2 是 =0 的（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既不充分也非必
2、要条件二、填空题6 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则4A -1-E=_7 A 是 3 阶矩阵，且 A-E，A-2E ，2A+E 均不可逆，则A =_8 已知 A 与 B 相似，其中 B= ，则A-E =_ 9 已知 =0，则 =_10 已知 D= =0，则 =_11 已知 D= =0，则 =_12 设齐次线性方程组 只有零解，则 a 满足的条件是_13 若 的代数余子式 A12=-1，则代数余子式 A21=_14 若 A= (4，5，6)，则A=_15 设 A= ，则 -2A-1=_16 设 ， 1， 2， 3 都是 4 维列向量，且A= ， 1， 2，
3、3=4 ，B=，2 1，3 2， 3=21，则A+B=_17 已知 Dn= ，若 Dn=anDn-1+kDn-2，则 k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 A 是 n 阶反对称矩阵，若 A 可逆，则 n 必是偶数19 设 A2=A，AE( 单位矩阵 )，证明：A=020 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nlm 矩阵，若 mn，证明：AB=021 已知 A 是 2n+1 阶正交矩阵，即 AAT=ATA=E，证明：E-A 2=0 22 设 A= 其中aiaj(ij，i ， j=1，2，n)，则线性方程组 ATx=B 的解是_23 设 A 是 n 阶矩阵，如对任何 n 维
4、向量 b 方程组 Ax=b 总有解，证明方程组A*x=b 必有唯一解24 已知 是 n 维列向量，且 T=1，设 A=E-T，证明：A=025 设 A 是 n 阶矩阵，证明存在非 0 的 n 阶矩阵 B 使 AB=0 的充分必要条件是A=026 设 A 是 n 阶可逆矩阵，且 A 与 A-1 的元素都是整数，证明：A=1考研数学三（行列式）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故应选(D)【知识模块】 行列式2 【正确答案】 C【试题解析】 因为A *是一个数，由kA=k nA及A *= A n-1 有 A *A
5、=A * nA=(A n-1)nA= 故应选(C) 【知识模块】 行列式3 【正确答案】 C【试题解析】 (2A) *=2A n-1=(2nA) n-1=2n(n-1)A n-1=2n(n-1)A *或利用(kA) *=kn-1A*，那么 (2A) *=2 n-1A*=(2 n-1)nA *= 故应选(C)【知识模块】 行列式4 【正确答案】 D【试题解析】 用拉普拉斯展开式有C= =(-1)mn3A-B=(-1)mn3mA(-1) nB =(-1) (m+1)3mab故应选(D)【知识模块】 行列式5 【正确答案】 B【试题解析】 对于范德蒙行列式 D= =(x-1)(-2-1)(-2-x)
6、=3(x-1)(x+2)， 因为 x=-2 时，行列式的值为 0但 D=0 时，x 可以为 1 所以 x=-2是 D=0 的充分而非必要条件故应选(B)【知识模块】 行列式二、填空题6 【正确答案】 3【试题解析】 由已知条件，A -1 的特征值为 ，进而 4A-1-E 的特征值为3，1，1于是4A -1-E=3.1.1=3【知识模块】 行列式7 【正确答案】 -1【试题解析】 因为 A-E，A-2E，2A+E 不可逆，则有 A-E = A-2E=2A+E=0 由E-A =0 知 是矩阵 A 的特征值，所以 1，2，是 A 的 3 个特征值据(114)得A=1.2. =-1【知识模块】 行列式
7、8 【正确答案】 -2【试题解析】 由于 A-B，故存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，那么 P-1(A+kE)P=P-1AP+P-1(kE)P=B+kE所以 A+kEB+kE 从而A+kE=B+kE于是 A-E=B-E= =-2【知识模块】 行列式9 【正确答案】 12，15，18【试题解析】 所以 为 12，15 ，18【知识模块】 行列式10 【正确答案】 1，-1(二重根)【试题解析】 将第 3 列加至第 1 列，得所以 =1， =-1(二重根)【知识模块】 行列式11 【正确答案】 1-a，a+4，a-3【试题解析】 将第 3 行的-1 倍加至第 1 行，有=(+a-1)(-a)2
8、-(-a)-12=(+a-1)(-a-4)(-a+3)，所以 =1-a，=a+4，=a-3【知识模块】 行列式12 【正确答案】 a1 且 a-4【试题解析】 n 个方程 n 个未知数的齐次方程组 Ax=0 只有零解 A0而=-(a+4)(a-1)，所以 a1 且 a-4【知识模块】 行列式13 【正确答案】 2【试题解析】 按代数余子式定义【知识模块】 行列式14 【正确答案】 0【试题解析】 利用公式“r(AB)r(B)及 A0，则 r(A)1”，易见本题中 r(a)=1，所以A=0或作矩阵乘法 A= ，由 A 中两行元素成比例而知A=0【知识模块】 行列式15 【正确答案】 -4【试题解
9、析】 用kA=k nA及A -1=又A =2，从而-2A -1=-4【知识模块】 行列式16 【正确答案】 180【试题解析】 因 A+B=(+，3 1，4 2，2 3)，故 A+B=+，3 1，4 2，2 3=24 ， 1， 2， 3+24， 1， 2， 3=24A+4B =180【知识模块】 行列式17 【正确答案】 1【试题解析】 从而k=1【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 因为 A 是反对称矩阵，即 AT=-A，那么A=A T=-A =(-1)nA 如果 n 是奇数，必有A=- A，即A=0 ，与 A 可逆相矛盾，所以 n 必是偶
10、数【知识模块】 行列式19 【正确答案】 如A0，则 A 可逆，那么 A=A-1A2=A-1A=E与已知条件AE 矛盾【知识模块】 行列式20 【正确答案】 对于齐次线性方程组：()ABx=0， ()Bx=0，由于()的解必是()的解，而当 mn 时，方程组 () 必有非零解因此，方程组()必有非零解，所以，系数行列式AB=0【知识模块】 行列式21 【正确答案】 由行列式乘法公式(110)，得A 2=A.A T=AA T=E=1 () 如A=1，那么 E-A=AA T-A=A(A T-ET)= A.A-E=-(E-A) =(-1) 2n+1E-A=-E-A， 从而 E-A=0 ()如A=-1
11、 ，那么可由 E+A=AA T+A= A(A T+ET)=A .A+E=-E+A， 得到E+A=0又因E-A 2=(E-A)(E+A) =E-A.E+A， 所以不论A是+1 或-1，总有E-A 2=0【知识模块】 行列式22 【正确答案】 (1，0，0，0) T【试题解析】 因为A是范德蒙行列式，由 aiaj 知由克莱姆法则知方程组 ATx=B 有唯一解对于易见 D1=A， D2=D3=Dn=0故 ATx=B的解是(1 ，0，0，0) T【知识模块】 行列式23 【正确答案】 记 A=(1， 2， n)，因为对任一个 n 维向量 b，方程组x11+x22+xnn=b 总有解，那么 1， 2，
12、n 可以表示任一个 n 维向量因此， 1， 2， ， n 可以表示 n 维单位向量 1=(1，0，0，0)T， 2=(0，1，0，0) T， n=(0，0，0，1) T从而向量组1， 2， n 与 1， 2， n 等价，所以秩 r(1， 2， n)=n，即有A0于是A *=A n-10由克莱姆法则可知 A*x=b 有唯一解【知识模块】 行列式24 【正确答案】 因为 A=(E-T)=-T=-(T)=-0， 所以 是齐次方程组Ax=0 的非 0 解故A=0 注意， 是 n1 矩阵，因而 T 是 n 阶矩阵，而 T是 11 矩阵是一个数两者不要混淆【知识模块】 行列式25 【正确答案】 必要性对零
13、矩阵及矩阵 B 按列分块，设 B=(1， 2， n)，那么 AB=A( 1， 2， n)=(A1，A 2，A n)=(0，0，0)=0 于是Ai=0(j=1，2，n)，即 j 是齐次方程组 Ax=0 的解 由 B0，知 Ax=0 有非 0解故A=0 充分性因为 A=0 ，所以齐次线性方程组 Ax=0 有非 0解设 是 Ax=0 的一个非零解，那么，令 B=(，0，0，0)，则 B0而AB=0【知识模块】 行列式26 【正确答案】 因为 AA-1=E，有AA -1=1因为 A 的元素都是整数，按行列式定义A是不同行不同列元素乘积的代数和，所以 A必是整数同理由 A-1 的元素都是整数而知A -1必是整数因为两个整数A和A -1相乘为1，所以A与A -1只能取值为1【知识模块】 行列式
