1、2001 年河南省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y=- (3-x)的定义域是 ( )（A）0 ，3)（B） (0，3)（C） (0，3（D）0 ，32 已知 ，则 f(x)等于 ( )（A）x 2+2（B） (x+2)2（C） x2-2（D）(x-2) 23 设 f(x)=1-cos3x，g(x)=x 2，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的 ( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶(但不等价) 无穷小4 对于函数 y= ，下列结论中正确的是 ( )（A）x=0 是第一类间断点， x=2 是第
2、二类间断点（B） x=0 足第二类间断点，x=2 是第一类问断点（C） x=0 是第一类间断点，x=2 是第一类问断点（D）x=0 是第二类间断点， x=2 是第二类问断点5 设 f(0)=2，则 的值为 ( )（A）1（B） 2（C） 0（D）46 设 y=cosex，则 dy 等于 ( )（A）-e xsinexdx（B） -exsinex（C） exsinexdx（D） -sine xdx7 已知椭圆的参数方程为 (a0，b0)，则椭圆在 t= 处的切线斜率为 ( )8 函数 y=f(x)在 x0 处可导是它在 x0 处连续的 ( )（A）充要条件（B）必要条件（C）充分条件（D）以上都
3、不对9 曲线 y=x2-3x2 的拐点为 ( )（A）(1 ，-2)（B） 1（C） (0，0)（D）(2 ，-4)10 下列函数中，在-1，1 上满足罗尔定理条件的是 ( )（A）y=x（B） y=x3（C） y=x2（D）y=11 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 f(2x)dx 等于 ( )（A） F(x)+C（B） F(2x)+C（C） F(x)+C（D）F(2x)+C12 下列式子中正确的是 ( )（A）dF(x)=F(x)（B） ddF(x)=F(x)+C（C） f(x)dx=f(x)dx（D）df(x)dx=f(x)dx13 设 ，则它们的大小关系是 ( )（A）I 1I
4、 2（B） I1=I2（C） I1I 2（D）I 1I214 等于 ( )（A）+（B）（C） 0（D）15 下列广义积分中收敛的是 ( )16 平面 3x+2y-z+5=0 与平面 x-2y-z-4=0 的位置关系是 ( )（A）平行（B）垂直（C）重合（D）斜交17 等于 ( )（A）0（B）（C）（D）+18 设 z=xy+x3，则出 ( )（A）dx+4dy（B） dx+dy（C） 4dx+dy（D）3dx+dy19 f(x，y)=x 2+y2-2x-2y+1 的驻点是 ( )（A）(0 ，0)（B） (0，1)（C） (1，0)（D）(1 ，1)20 设 D=(x， y)x 2+y2
5、R2，y0，则在极坐标中， (x2+y2)dxdy 可表示为( )21 某二阶常微分方程的下列解中为通解的是 ( )（A）y=Csinx（B） y=C1sinx+C2cosx（C） y=sinx+cosx（D）y=(C 1+C2)cosx22 下列常微分方程中为线性方程的是 ( )（A）y=e x-y（B） y.y+y=sinx（C） x2dx=(y2+2xy)dy（D）xy+y-e 2x=023 微分方程 y=x 的通解为 ( )（A）y= +Cx2+C2x+C3（B） y= +C1x2+C2x+C3（C） y= +C1x2+C2x+C3（D）y= +C1x2+C2x+C324 微分方程 y
6、”-4y=0 的通解为 ( )（A）Y=C 1e-2x+C2e-2x（B） y=(C1+C2x)e2x（C） y=C1+C2e4x（D）y=C 1cos2x+C2sin2x25 对于微分方程 y-2y=x2，用待定系数法求特解时，特解可设为 ( )（A）y *=ax2+bx+c（B） y*=x2(ax2+bx+c)（C） y*=x(ax2+bx)（D）y *=x(ax2+bx+c)26 设级数 (1-un)收敛，则 等于 ( )（A）1（B） 0（C） +（D）不确定27 下列级数中收敛的是 ( )28 设正项级数 收敛，则下列级数中一定收敛的是 ( )29 下列级数中条件收敛的是 ( )30
7、 若幂级数 在点 x=2 处收敛，则该级数在点 x=-1 处 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性无法判定二、填空题31 =_32 设 f(x)=x3+3x，则 f(4)(0)=_33 曲线 y=arctan2x 在点(0 ，0) 处的法线方程为_34 exsinexdx=_35 由曲线 y=x2，y=0 ，x=1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积是_36 设 z=xy+yx，则 =_37 交换积分 I= ，则 I=_38 方程 sec2xtanydx+sec 2y.tanxdy=0 的通解为_39 幂级数 的收敛半径为_40 幂级数 的和函数 s(x)
8、=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。41 求函数 的导数42 求函数 y=(1+2x)sinx 的导数43 计算不定积分xln(1+x 2)dx44 计算定积分45 求过点 P(1，1，1)且平行于平面 II1：2x-3y+z-4=0 与平面 II2：x+y-z-6=0 的直线方程46 已知 z=f(xy，x+y)，且 f 是可微函数，求47 计算 I= xy2dxdy，其中 D 为 x2+y2=4 与 x=0 围成的右半区域48 计算曲线积分 L(x3-y)dx-(x+siny)dy，其中 L 是曲线 y=x2 上从点(0，0)到(1，1)之间的一段有向弧49 将函数 f(x)= 展开
9、成麦克劳林级数，并写出收敛区间四、综合题50 已知位于第一象限的凸曲线弧经过原点 O(0，0)和点 A(1，1)，且对于该曲线弧上任一点 P(x，y)，曲线弧 和直线段 OP 所围成的平面图形的面积为 x2，求该曲线弧的方程51 某工厂生产某产品需 A、B 两种原料，且产品的产量 z 与所需原料 A 数 x 及原料 B 数 y 的关系式为 z=x2+8xy+7y2，已知原料 A 的单价为 1 万/ 吨，原料 B 的单价为 2 万/吨现有 100 万元，问如何购置原料，才能使该产品的产量最大 ?五、证明题52 证明方程 在区间(0，1)内有唯一的实根2001 年河南省专升本（高等数学）真题试卷答
10、案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 要使 ln(3-x)有意义，需要 3-x0，要使 有意义，需要 x0，所以 02 【正确答案】 C【试题解析】 因 ，所以 f(x)=x2-23 【正确答案】 D【试题解析】 因 x0 时，1-cos3x- ，所以当 x0 时，f(x)与 g(x)是同阶但非等价无穷小4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =，则 x=0 是第二类间断点；因为=2，则 x=2 是第一类间断点5 【正确答案】 D【试题解析】 若函数 f(x)在 x0 处可导且 f(x0)存在，则 =(a-b)f(x0)故 =1-(
11、-1)f(0)=2f(0)=46 【正确答案】 A【试题解析】 dy=d(cose x)=-sinexdex=-exsinexdx7 【正确答案】 C【试题解析】 因 对应点处的切线斜率8 【正确答案】 C【试题解析】 因可导必然连续，而连续未必可导，故选 C.9 【正确答案】 A【试题解析】 因为 y=3x2-6x，y=6x-6，令 y=0 得 x=1当 x1 时，y0 ， 所以(1，-2)为拐点 注意：所谓拐点指的是(x 0，y 0)，而非二阶导函数方程 y=0 的根10 【正确答案】 C【试题解析】 y=x在 x=0 处不可导；y=x 3 在区间两个端点的函数值不相等；y= 在 x=0
12、处不连续；只有选项 C 满足条件11 【正确答案】 B【试题解析】 f(2)dx= f(2x)d(2x)= F(2x)+C12 【正确答案】 D【试题解析】 A 右端未加任意常数 C；B 是微分运算，等号右端不应出现常数C，而应该有微分符号 dx；C 为求导运算，右边不应出现微分符号 dx，故选 D13 【正确答案】 C【试题解析】 因 021，1 e，故 x2 ，进而有，I 1I 214 【正确答案】 D【试题解析】 15 【正确答案】 A【试题解析】 因为 当 k1 时收敛，当 k1 时发散，故 A 收敛，B 和 C 发散；又因当 x1 时，xlnx ，所以 发散，所以 也发散16 【正确
13、答案】 B【试题解析】 两个平面的法向量分别为，n 1=3，2，-1，n 2=1，-2，-1，因为，n1.n2=0，所以 n1n2，从而两平面垂直17 【正确答案】 B【试题解析】 令 xy=1，则当(x，y)(0，0)时，t0，所以原极限为18 【正确答案】 C【试题解析】 因为 dz=ydx+xdy+3x2dx=(3x2+y)dx+xdy，所以 =(3x2+y)dx+xdy=4dx+dy19 【正确答案】 D【试题解析】 因 (x，y)=2x-2，f(x ，y)=2y-2，令 (x，y)，)=0 ， (x，y)=0，得驻点为(1 ，1) 20 【正确答案】 C【试题解析】 因积分区域又可表
14、示为 D=(，r) 0，0rR，且在极坐标系下的面积元素为 rdrd，所以21 【正确答案】 B【试题解析】 因 A 中只有一个任意常数，显然不符合二阶微分方程的通解形式；B 满足通解条件；C 中缺少任意常数，不符合通解条件； D 中的两个常数不相互独立，相当于一个任意常数，也不符合通解的条件22 【正确答案】 D【试题解析】 所谓线性方程是指未知函数 y 及其导数 y、y的次数皆为一次，于是符合条件的只有 D 选项 B 中因存在交叉项 y.y，也不符合线性要求23 【正确答案】 A【试题解析】 直接逐次积分即可求得通解因为 y=x，所以 y= ，y=+C2，y= +C2x+C3，y= +C1
15、x2+C2x+C3(令=C1)，故选 A.24 【正确答案】 A【试题解析】 因为其特征方程为 r2-4=0，特征根为 r1=2，r 2=-2，所以通解为y=C1e2x+C2e-2x25 【正确答案】 D【试题解析】 原方程相应的齐次方程对应的特征方程为 r2-2r=0，特征根为r1=2，r 2=0，因为自由项 f(x)=x2 是二次多项式，且 =0 恰为一重特征根，故微分方程 y-2y=x2 的特解应为 y*=xe0x(ax2+bx+c)=x(ax2+bx+c)26 【正确答案】 A【试题解析】 因级数 (1-un)收敛，则由收敛的必要条件知 (1-un)=0，故=127 【正确答案】 B【
16、试题解析】 选项 A 是 p= 的 p 一级数，因 p 的等比级数，故收敛；选项 C 由比值判别法知 =21，故发散；选项 D 中 是公比 q= 1 的等比级数，发散， 是 p=21 的 p 一级数，收敛，但选项 D 整体是发散的28 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 和 B 未必收敛，如当 un=发散， 发散；对于选项 C，当正项级数 收敛时，总有 =0，从而有 =+，所以级数发散；选项 D 可由比较判别法证明其收敛29 【正确答案】 C【试题解析】 易判定选项 A、B、D 都是绝对收敛，而 c 的绝对值级数为的 p 一级数，因 P30 【正确答案】 C【试题解析】 当 在点 x=2
17、处收敛时，则级数 在(-2 ，2)内必绝对收敛，而 01(-2，2) ，所以 在点 x=-1 处绝对收敛二、填空题31 【正确答案】 e 2【试题解析】 对于 1型的未定式 lim(1+u(x)v(x)(其中 limu(x)=0，limv(x)=) ，若当 limu(x)v(x)=k，则必有 lim(1+u(x)v(x)=ek据此 sinx =2 知=e232 【正确答案】 ln 43【试题解析】 因为对于 g(x)=x4，当 nk 时，总有 g(n)(x)=(xk)(n)0，这里由于43，所以实际上相当于直接对 3x 求四阶导数，根据指数函数求导的规律知 f(4)(x)=3xln43，从而
18、f(4)(0)=ln4333 【正确答案】 y=【试题解析】 因为 y= ，故 y(0)=2，所以法线的斜率为 ，故法线方程为 y=34 【正确答案】 -cose x+C【试题解析】 e xsinexdx=sinexdex=-cosex+C.35 【正确答案】 【试题解析】 V=36 【正确答案】 yx y-1+yxlny【试题解析】 视 y 为常数，对 x 求偏导，则 =yxy-1+yxlny37 【正确答案】 【试题解析】 因积分区域为 X 型区域，D x=(x，y) ，) 0x1 ，xy1，改变投影方向后可得 Y 型域，D y=(x，y)0y1，0xy，所以改变积分次序后可得，I=38
19、【正确答案】 tanx.tany=C【试题解析】 因原方程可化为 d(tanx.tany)=0，故 tanx.tany=C.39 【正确答案】 1【试题解析】 因幂级数的系数为 an= ，故 = =1，所以 R=140 【正确答案】 e 2x【试题解析】 因为 et= ，所以令 t=2x，则三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。41 【正确答案】 该极限为 型未定式，可用洛必达法则进行计算42 【正确答案】 本题为幂指函数的求导 方法一：对函数两边取对数，得lny=sinx.ln(1+2x)， 两边对 x 求导，得 .y=cosx.ln(1+2x)+sinx. ， 所以y=ycosx.ln(1
20、+2x)+sinx. =(1+2x)sinx.cosx.ln(1+2x)+sinx. 方法二：利用对数恒等式作恒等变换，将函数转化为初等函数后再求导 因为 y=(1+2x)sinx=esinx.ln(1+2x) 所以 y=esinx.ln(1+2x)cosx.ln(1+2x)+sinx. =(1+2x)sinx.cxsx.ln(1+2x)+sinx. 43 【正确答案】 xln(1+x 2)dx= ln(1+x2)d(1+x2)= (1+x2)ln(1+x2)-= (+x2)ln(1+x2)- +C44 【正确答案】 令 x=tant，则45 【正确答案】 因所求直线既平行于平面 II1，又平
21、行于平面 II2，则直线的方向向量既垂直于平面 II1 的法 s=n1n2= =2,3,546 【正确答案】 令 u=xy，v=x+y ，则 47 【正确答案】 因积分区域为半圆，故可在极坐标下计算二重积分， 因为D=(，r) ，0r2 ，所以 48 【正确答案】 P(x，y)=x 3-y，Q(x，y)=-(x+siny)，且 ，所以该曲线积分与路径无关，可将积分路径改为从点(0，0)到(1，1)的直线段 y=x，此时 L(x3-y)dx-(x+sin y)dy49 【正确答案】 f(x)=收敛区间为(-1，1)四、综合题50 【正确答案】 设曲线弧的方程为 y=f(x)，依题意有 f(x)=
22、x3，且f(0)=0，f(1)=1， 上述方程两侧同对 x 求导，得 xf(x)-f(x)=-6x 2， 所以有=-6 两边积分得 =-6x+C，所以 f(x)=-6x2+Cx 又因为 f(1)=1，所以 C=7，从而得该曲线弧方程为 f(x)=-6x2+7x51 【正确答案】 由题意知，计算函数 z=x2+8xy+7y2 在条件 x+2y=100 下的条件极值 方法一：用拉格朗日乘数法 令 F(x，y)=x 2+8xy+7y2+(x+2y-100)， 则，得 =-360，x=20，y=40 由于驻点唯一，实际中确有最大值，故 x=20 吨，y=40 吨时，才能使该产品产量最大 方法二：化条件
23、极值为无条件极值 将条件 x+2y=100 代入函数 z=x2+8xy+7y2 得 z=(100-2y)2+8y(100-2y)+7y2=10000+400y-5y2 则 z(y)=400-10y， 令 z(y)=0，得 y=40 又因为 z(y)=-10五、证明题52 【正确答案】 令 f(x)=ex- ，显然 f(x)=ex- 在闭区间0,1上连续， 且 f(0)=1- 0，f(1)=e- ，又因 ，(0t1)， 所以 ，(0t1)， 从而 f(1)=e-， 由零点定理知，f(x)在区间(0，1)内至少有一个实根 又因为 f(x)=ex- 0，(0t1)， 所以 f(x)在区间(0，1)内严格单调递增， 所以 f(x)在区间(0 ，1)内有唯一实根，即方程 ex- =0 在区间(0，1)内有唯一的实根
