1、2006 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设函数 ，则 x=1 是 f(x)的( )（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）无穷间断点（D）连续点2 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 cosf(sinx)dx 等于( )（A）F(x)+C （B） F(sinx)+C（C）一 F(x)+C （D）一 F(sinx)+C3 设 ，若幂级数 的收敛半径分别为 R1、R 2 和 R3，则下列关系式成立的是( )（A）R 3R 2R 1（B） R3R 2=R1（C） R3=R2R 1 （D）R 3=R2=R14 设 f(x
2、0)存在，则极限 等于( )（A）f(x 0)（B）一 f(x0)（C） 0（D）2f(x 0)5 设有直线 和平面：x 一 2y+x 一 3=0，则直线 L 与平面的夹角为( ) （A）（B）（C）（D）二、填空题6 当 x0 时，2x+asinx 与 x 是等价无穷小量，则常数 a 等于_7 如果函数 f(x)的定义域为0 ，2则函数 f(x)+f(lnx)的定义域为_8 微分方程 的通解为_9 设 =F(x，y，z)为可微函数且 F(1，2，3)=0 ，若 dw (1,2,3)=3dx+2dy+dz，则曲面F(x，y，z)=0 在点(1 ，2，3)的法线方程为_10 设 D 是由直线 y
3、=x 一 1，x=1 ，及 y=2 所围成的闭区域，则二重积分 等于_.三、综合题11 求极限12 已知函数 y=y(x)由方程组13 求函数 的极值14 设 z=yf(x+y，xy)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求15 设函数 ，其中 (x)具有二阶导数，且 (0)=1，(0)=0，求 f(t)16 求不定积分17 设函数 f(x)满足 求 f(x)18 计算曲线积 L(6xy2y 3)dx+(6x2y3xy 2+8x)dy，其中 L 是曲线 和x 轴所围成区域的正向边界曲线19 设函数 f(x)=xarctanx，(1)将 f(x)展开为 x 的幂级数并确定其收敛域，(2)求级数的和20
4、 设函数 f(x)二阶可导，f(0)=4，且满足方程 0xf(t)dt=x2+f(x)，求 f(x)四、证明题21 求由曲面 及平面 z=0 所围成的立体体积22 证明：当 0x1 时，2006 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 由题意可知，f(x)dx=F(x)+C(C 为任意常数)则cosxf(sinx)dx=f(sinx)d(sinx)=F(sinx)+C3 【正确答案】 D【试题解析】 所以R1=R2=R34 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答
5、案】 A【试题解析】 由题意知，直线 l 的方向向量为 s=一 1，一 1，2)，平面 的法向量 n=1，一 2，1)则直线 l 与平面 的夹角为 sin=二、填空题6 【正确答案】 一 1【试题解析】 所以 a=一 17 【正确答案】 1，2【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知，特征方程为 4r2+4r+1=09 【正确答案】 【试题解析】 由题意知，此法线方程的方向向量为 n=3，2，1则此法线方程为：10 【正确答案】 e 2+1【试题解析】 此区域 D 可表示为三、综合题11 【正确答案】 12 【正确答案】 当 t=0 时， x=一 1，y=0 对方程 xexsi
6、nt+1=0 两边关于 t 求导，得13 【正确答案】 解出函数 f(x)的驻点为 x1=一 3，导数不存在的点为 x1=一 1 当 x一 3 时，f(x)0；当一 3x一 1 时，f(x)0，所以 x1=一 3 为 f(x)的极大值点，极大值为 又当 x一 1 时，f(x)0，所以x2=一 1 为 f(x)的极小值点，极小值为 f(一 1)=014 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 将 x=0 代入方程，得 f(0)=0 对方程两端关于 x 求导，有 f(x)=2x+f(x)，即 f(x)一 f(x)=一 2x 对应的特征方程为 r2 一 1=0，r 1=1，r 2=一 1显然，非齐次方程有一特解为 f*(x)=2x 故通解为 f(x)=C1ex+C2e-x+2x四、证明题21 【正确答案】 立体在 xOy 面投影为 D=(x，y) x 2+y2ax利用极坐标变换，所求立体体积为22 【正确答案】
