1、2008 年河南省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 f(x)=ln(1-x)+ 的定义域是 ( )（A）-2，-1（B） -2，1（C） -2，1)（D）(-2，1)2 = ( )（A）1（B） 0（C）（D）3 点 x=0 是函数 y= 的 ( )（A）连续点（B）跳跃间断点（C）可去间断点（D）第二类间断点4 下列极限存在的是 ( )5 当 x0 时，ln(1+x 2)是比 1-cosx 的 ( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价无穷小6 设函数 f(x)= ，则 f(x) ( )（A
2、）在 x=-1 处连续，在 x=0 处不连续（B）在 x=0 处连续，在 x=-1 处不连续（C）在 x=-1，x=0 处均连续（D）在 x=-1，x=0 处均不连续7 过曲线 y=arctanx+ex 上的点(0，1)处的法线方程为 ( )（A）2x-y+1=0（B） x-2y+2=0（C） 2x-y-1=0（D）x+2y-2=08 设函数 f(x)在 x=0 处满足 f(x)=f(0)-3x+a(x)，且 =0,则 f(0)=( )（A）-1（B） 1（C） -3（D）39 函数(x)=(lnx) x(x1)，则 f(x)= ( )（A）(lnx) x-1（B） (lnx)x-+(lnx)
3、xln(lnx)（C） (lnx)xln(lnx)（D）x(lnx) x10 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则 = ( )（A）-2（B） -1（C）（D）11 下列函数中，在区间-1，1上满足罗尔定理条件的是 ( )（A）y=e x（B） y=lnx（C） y=1-x2（D）y=12 曲线 y=x3+5x-2 的拐点是 ( )（A）x=0（B） (0，-2)（C）无拐点（D）z=0 ，y=-213 曲线 y= ( )（A）仅有水平渐近线（B）既有水平渐近线，又有垂直渐近线（C）仅有垂直渐近线（D）既无水平渐近线，又无垂直渐近线14 f(x)的一个原函数是 xlnx，那么x 2f(x)
4、x= ( )（A）lnx+C（B） x2+C（C） x3lnx+C（D）C-x15 = ( )（A）（B）（C） ln(x-3)-ln(x-1)+C（D）ln(x-1)-ln(x-3)+C16 设 I= ，则 I 的取值范围为 ( )（A）0I1（B） I1（C） 0I（D） I117 下列广义积分收敛的是 ( )18 = ( )19 若函数 f(x)为可导函数，f(x) 0，且满足 f2(x)=ln22- ，则 f(x)= ( )（A）ln(1+cosx)（B） -ln(1+cosx)+C（C） -ln(1+cosx)（D）ln(1+cosx)+C20 若函数 f(x)满足 f(x)=x+1
5、- f(x)dx，则 f(x)= ( )21 若 I= ，则 I= ( )22 直线 与平面 4x-3y+7z=5 的位置关系是 ( )（A）直平与平面斜（B）直线与平面垂直（C）直线在平面内（D）直线与平面平行23 = ( )（A）2（B） 3（C） 1（D）不存在24 曲面 z=x2+y2 在点(1，2，5)处的切平面方程为 ( )（A）2x+4y-z=5（B） 4x+2y-z=5（C） x+2y-4z=5（D）2x-4y+z=525 设函数 z=x3y-xy3，则 = ( )（A）6xy（B） 3x2-3y2（C） -6xy（D）3y 2-3x226 如果区域 D 被分成两个子区域 D1
6、 和 D2，且 f(x，y)dxdy=5， f(x，y)dxdy=1，则 f(x，y)dxdy= ( )（A）5（B） 4（C） 6（D）127 如果 L 是摆线 从点 a(2，0)到 B(0，0)的一段弧，则曲线积分L(x2y+3xex)dx+( -ysiny)dy= ( )（A）e 2(1-2)-1（B） 2e(1-2)-1（C） 3e2(1-2)-1（D）4e 2(1-2)-128 通解为 y=Cex(C 为任意常数 )的微分方程为 ( )（A）y+y=0（B） y-y=0（C） yy=1（D）y-y+1=029 微分方程 y+y=ce-x 的特解形式应设为 ( )（A）x(ax+b)e
7、 -x（B） ax+b（C） (ax+b)e-x（D）x 2(ax+b)e-x30 下列四个级数中，发散的级数是 ( )二、填空题31 (x)=A 的_条件是32 函数 y=x-sinx 在区间(0 ，2)内单调_，其曲线在区间(0， )内的凹凸性为_的33 设方程 3x2+2y2+z2=a(a 为常数)所确定的隐函数为 z=f(x，y)，则 =_34 =_35 =_36 在空间直角坐标系中，以点 A(0，-4，1)，B(-1，-3，1)，C(2，-4，0)为顶点的ABC 的面积为_37 方程组 在空间直角坐标系下的图形为_38 函数 f(x， y)=x3+y3-3xy 的驻点为_39 若 z
8、=x2y+e1-x =_40 =_41 直角坐标系下二重积分 f(x，y)dxdy( 其中 D 为环域(x，y)1x 2+y29)化为极坐标形式为_42 以 y=C1e-3x+C2x-3x 为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为 _43 等比级数 aqn(00)，当 _时级数收敛，当_时级数发散44 函数 f(x)= 展开为 x 的幂级数为_45 是敛散性为_的级数三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 求极限47 求极限48 已知 y=lnsin(1-2x)，求49 求不定积分xarctanxdx50 求函数 z=excos(x+y)的全微分51 计算 ，其中 D 是由 y=2，y=x ，
9、xy=1 所围成的区域。52 求微分方程 y+ycosx=e-sinx 满足初始条件 y(0)=-1 的特解。53 求级数 的收敛半径和收敛区间(考虑区间端点)四、综合题53 过曲线 y=x2 上一点 M(1，1) 作切线 L，D 是由曲线 y=x2，切线 L 及 x 轴所围成的平面图形。 求：54 平面图形 D 的面积55 平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积56 一块铁皮宽 24 厘米，把它的两边折上去，做成一个正截面为等腰梯形的槽，要使等腰梯形的面积 A 最大，求腰长和它对底边的倾斜角 。五、证明题57 证明方程 lnx= 在区间(e ，e 3)内仅有一个实根。2008
10、年河南省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 解不等式组 ，得 C 为正确选项2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 =-1，左右极限均存在，但不相等，故选 B.4 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A 的极限为正的无穷大，选项 B 的极限为 2，选项 C 的极限振荡不存在，选项 D 的极限也为正的无穷大5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =2 故选 D.6 【正确答案】 A【试题解析】 =1=f(-1)，所以f(x)在 x=-1 处连续； ，所以在 x=0 处不连续7
11、【正确答案】 D【试题解析】 y= +ex，曲线上点(0，1)处的切线斜率为 y 0=2，所以法线的斜率为 k= ，因此法线方程为 y-1= (x-0)，即 x+2y-2=08 【正确答案】 C【试题解析】 f(0)=9 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=(lnx) x=exln(lnx)，则 f(x)=exln(lnx)ln(lnx)+ ，即 f(x)=(lnx)xln(lnx)+ =(lnx)x-1+(lnx)xln(lnx)10 【正确答案】 D【试题解析】 11 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 在-1，1两端的值不相等，选项 B 在-1，1内不连续，选项 D 在-1， 1
12、内不连续12 【正确答案】 B【试题解析】 y=3x 2+5，令 y=6x=0，得 x=0，此时 y=-2，当 x0 时，f0 ； 当 x13 【正确答案】 B【试题解析】 因 =+，所以有垂直渐近线，又因 =0，所以有水平渐近线14 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)的一个原函数是 xlnx，则 f(x)=(xlnx)l=lnx+1，f(x)= ，f(x)=，那么x 2f(x)dx=-1dx=-x+C.15 【正确答案】 A【试题解析】 16 【正确答案】 B【试题解析】 在区间0，1上，11+x 42，从而 ，所以选 B.17 【正确答案】 D【试题解析】 因广义积分 (a1)在 k1
13、 时均收敛，k1时均发散，所以选项 A、B、C 中积分均发散，故选 D.18 【正确答案】 D【试题解析】 19 【正确答案】 A【试题解析】 对 f2(x)=ln22- 两边求导得， 2f(x)f(x)= ，即 f(x)=+cosx=ln(1+cosx)+C，又因 f(x)满足初始条件 f(0)=ln2，代入上式可得 C=0，所以 f(x)=ln(1+cosx)20 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)dx 的值为常数，不妨令其为 k，则对 f(x)=x+1- f(x)dx 两边同时积分得 k= =2-k，所以 k=1，从而 f(x)=x+1-21 【正确答案】 C【试题解析】 I=
14、22 【正确答案】 D【试题解析】 直线的方向向量为 =5，9，1，平面的法向量为 =4，-3，7，因为 =0，即 ，从而可知直线与平面平行或重合，又因直线过定点 M0(-2，-4，0)，将该点坐标代人平面方程得 4(-2)-3(-4)+70=45，即表明该点不在平面内，故选 D.23 【正确答案】 A【试题解析】 令 x2+y2=t，则24 【正确答案】 A【试题解析】 令 F(x，y， z)=x2+y2-z，则 (x，y，z)=2x， (z，y，z)=2y， (x，y，z)=-1，则在点 (1，2，5)处， =2， =4， =-1，曲面 z=x2+y2在该点处切平面的法向量为 2,4，-1
15、 ，所以切平面方程为 2(x-1)+4(y-2)-(x-5)=0，即 2x+4y-z=525 【正确答案】 B【试题解析】 =3x2y-y3， =3x2-3y226 【正确答案】 C【试题解析】 如果区域 D 被分成两个子区域 D1 和 D2，则 f(x，y)dxdy= f(x，y)dxdy+ f(x，y)dxay=5+1=627 【正确答案】 C【试题解析】 令 P(x，y)=x 2y+3xex，Q(x，y)= ，则表明曲线积分与路径无关，取 x 轴上从 A(2，0)到 B(0，0)的直线段，则有 L(x2y+3xex)dx+(x3-ysiny)dy= =3e2(1-2)-28 【正确答案】
16、 B【试题解析】 对 y=Cex 求导可得 y=Cex=y，即 y-y=0显然 B 为正确选项29 【正确答案】 A【试题解析】 根据自由项的形式为 f(x)=xe-x，知多项式为 1 次多项式，且 =-1，又知 y+y=0 对应特征方程的根为 r1=0，r 2=-1，所以 为单根，故特解形式应设为 x(ax+b)e-x30 【正确答案】 B【试题解析】 的一般项为 ，其极限为 0，故选项 B 的级数为发散的二、填空题31 【正确答案】 充要【试题解析】 函数在点 x0 处极限存在的充分必要条件是左右极限存在且相等32 【正确答案】 递增 凹【试题解析】 因 y=1-cosx，在区间(0，2)
17、 内 y0，故单调递增；y=sinx 在区间(0， )内恒大于 0，故为凹的33 【正确答案】 【试题解析】 方程两边同时对 x 求偏导(视 y 为常数)，得 6x+2z.34 【正确答案】 2 -2ln(1+ )+C【试题解析】 =2t-2ln(1+t)+C=2 -2ln(1+ )+C35 【正确答案】 0【试题解析】 对称区间上奇函数的定积分恒为零36 【正确答案】 【试题解析】 =-1，1，0， =2，0，-1，则 =-1，-1，-2 ，故 SABC=37 【正确答案】 两条平行直线【试题解析】 将 x=-2 代入 =1，得 y= ，则该方程组的另一种形式为，因此在空间直角坐标系下的图形
18、表示两条平行直线。38 【正确答案】 (0，0)(1，1)【试题解析】 令 得驻点为(0，0)，(1，1)39 【正确答案】 0【试题解析】 因为飞（x，0)=0，所以 =040 【正确答案】 【试题解析】 由 知积分区域 D=(x，y)0x ，xy ，该区域又可表示为 D=(x，y)0y ，0xy，所以积分次序交换后，得41 【正确答案】 f(rcos，rsin)rdr【试题解析】 D=(r，)02，1r3，所以 f(x，y)dxdy= f(rcos，rsin)rdr42 【正确答案】 y+6y+9y=0【试题解析】 由通解形式容易知道相应的齐次线性微分方程所对应的特征根为=-3，故特征方程
19、为(r+3) 2=r2+6r+9=0，故二阶常系数齐次线性微分方程为y+6y+9y=043 【正确答案】 q1 q1【试题解析】 (a0)是等比级数，当q1 时级数收敛，当q 1 时级数发散44 【正确答案】 +(-1)n+1)xn(-1x1)或 (-x1)【试题解析】 f(x)45 【正确答案】 发散【试题解析】 因 =e-20，故级数发散三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 原式=47 【正确答案】 原式=48 【正确答案】 =lnsin(1-2x) = sin(1-2x) = .(-2)cos(1-2x)=-2cot(1-2x)49 【正确答案】 xarctanxdx
20、=50 【正确答案】 因 z=excos(x+y)，则 =excos(x+y)-exsin(x+y)， =-exsin(x+y)，则dz= + dy=excos(xy)-sin(x+y)dx-exsin(x+y)dy51 【正确答案】 区域 D 的边界交点坐标为(1，1)，(2，2)，( ，2)，根据积分区域的特点可先选择对 x 积分，再对 y 积分，此时积分区域为D=(x，y) 1y2 ， xy，则52 【正确答案】 原方程对应的齐次线性微分方程为 y+ycosx=0，其通解为 y=Ce-sinx，设 y=C(x)e-sinx 为原微分方程的通解，代入原方程可得 C(x)e-sinx=e-s
21、inx，即 C(x)=1，则 C(x)=x+C，又因 y(0)=-1，所以 C=-1，从而原微分方程的通解为 y=(x+C)e-sinx4则特解为 y=(x-1)e-sinx53 【正确答案】 因为 所以收敛半径为 R= ，又当 x= 时，对应的级数为 ，为调和级数，发散，又当 x=时，对应的级数为 ，由莱布尼兹判别法知其收敛，所以所求的收敛区间为四、综合题54 【正确答案】 曲线 y=x2(x0)在 M(1，1)处的切线斜率为 2，过 M 点的切线方程为 y=2x-1，切线与 x 轴的交点坐标为( ，0)则所围成的平面图形 D 的面积为： 55 【正确答案】 平面图形 D 绕 x 轴旋转一周
22、所形成的旋转体的体积为： 56 【正确答案】 根据题意知梯形上、下底分别为 24-2x+2xcos，24-2x，其中 x0，0，所以截面面积 A= (24-2x+2xcos+24-2x).xsin=24xsin-2x2sin+x2cossin得驻点 x=0，cosa=0(舍去)、x=8，cosa= ，则驻点唯一，所以当 x=8，a= 时截面 A 的面积最大五、证明题57 【正确答案】 令 f(x)= ，显然 f(x)在区间(e,e 3)上连续，又因f(e)=lne-0f(e3)=lne3- =3-e2+ 6-e 20 又因 f(x)= ，当 x(e，e 3)时，f(x)0，即 f(x)在区间(e，e 3)上单调递减 综上所述，方程 lnx=在区间(e，e 3)内仅有一个实根
