1、2009 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 当 x0 时，函数 f(x)=sinax 与 g(x)=ln(12x)为等价无穷小，则常数 a 的值为 ( )（A）一 1（B） 1（C）一 2（D）22 已知函数 f(x)=sinx，则 f(2009)(x)=( )（A）sinx（B） cosx（C） sinx（D）cosx3 已知(x)dx=2x+C，则 =( )（A）（B）（C）（D）4 幂级数 的收敛域为( )（A）(一 2，2)（B） 一 2，2)（C） (一 2，2（D）-2，25 已知闭曲线 L：x 2+y2=4
2、，则对弧长的曲线积 L(4x2+4y26)ds=( )（A）40（B） 12（C） 6（D）4二、填空题6 定积分 -11(3x2+4sinx)dx 的值为_7 极限 的值为_8 过点(1 ，1，1) 且与向量 a=1，1，0 和 b=一 1，0，1)都垂直的直线方程为_9 微分方程 的通解为_10 已知函数 z=sin(x2y)，则 dz (1,)_三、综合题11 设函数 在 x=0 处连续，求常数 a 的值12 设参数方程 确定函数 y=y(x)，求13 求函数 f(x，y，z)=ln(x 2+y2+z2)在点 P(-1，1，一 1)处沿从点 P 到点 Q(-2，一1，1)的方向的方向导数
3、14 设函数 z=f(xy，x 2 一 y2)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求15 设方程 0xetdt0yetdt 一 sin(xy)=0 确定函数 y=y(x)，求16 求函数 的单调区间和极值17 计算二重积分 其中 D 是由直线 y=x，曲线 及 x 轴在第一象限内所围成的区域18 计算对坐标的曲线积分 I=L(3x2+2y)dx+(12x+y)dy，其中 L 是从点 B(2，0)经过点 A(1，2) 到点 O(0，0)的折线段19 将函数 展开为(x 一 1)的幂级数20 求微分方程 y一 y=ex 的通解四、证明题21 求由曲线 y=e-x 与该曲线过原点的切线和 y 轴所围图形
4、的面积22 设函数 F(x)=1xsinx.f(t)ft，其中 f(t)在1，上连续，求 F(x)并证明在(1，)内至少存在一点 ，使得 cos.1f(x)dx+sin.f()=02009 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)与 g(x)为等价无穷小量所以 又 x0 时，sinaxax，ln(12x)一 2x，所以 a=一 22 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=cosx，f(x)= 一 sinx，f(x)=一 cosx，f (4)(x)=sinx，周期为4因为 2009=2
5、008+1，f (2009)(x)=f(x)=cosx3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 二、填空题6 【正确答案】 2【试题解析】 7 【正确答案】 e 1【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 设所求直线方向向量为(x，y，z) ，则由题意可求得 x=1，y=-1，z=1，所以(1，一 1，1)为直线方向向量又因为过点(1，1，1)，所以直线方程为9 【正确答案】 【试题解析】 ，所以，所以，两边积分，lny=一 lnx+C1 所以 lnx+lny=C1，lnxy=C 1，所以 xy=eC1，所以10 【正确答案】 2
6、ndxdy【试题解析】 三、综合题11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 其方向余弦为14 【正确答案】 15 【正确答案】 方程两边对 x 求导数，有16 【正确答案】 f(x)的定义域为 解得 x=1 是 f(x)的驻点，x=0 是 f(x)不可导的点当 x(一，0)时，f(x)0，f(x)在(一，0内单调增加。当x(0，1)时，f(x)0，f(x) 在0，1上单调减少当 x(1，+) 时，f(x)0，f(x)在1，+) 内单调增加从而 f(x)在点 x=0 处取得极大值 f(x)在点 x=1 处取得极大值 f(1)=017 【正确答案】 18 【正确答案】 设直线段
7、OB 为 L1：y=0(0x2)令 P=3x2+2y Q=12x+y；D 是以O，B，A 为顶点的三角形区域由格林公式可得19 【正确答案】 20 【正确答案】 首先求 y一 y=0。的通解 Y(x)特征方程为 r2 一 1=0，特征根为r1=1，r 2=一 1；Y(x)=C 1ex+C2e-x 其次求 y一 y=ex 的特解 y*(x)设 y*(x)=axex，y *(x)=a(x+1)ex；y *(x)=a(x+2)ex，代入微分方程并消去 ex，四、证明题21 【正确答案】 设切点为(x 0，y 0)，y=一 e-x 所以所求切线方程为 y=一 e-xx 由解得切点坐标为(一 1，e) 从而切线为 y=一 ex 所求面积22 【正确答案】 因为 F(x)在1， 上连续，在(1， )内可导，且 F(1)=F()=0 由罗尔定理知，在(1，) 内至少有一点 ，使 F()=0 即
