1、2010 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 当 x1 时，函数 的极限( )（A）等于 1（B）等于 0（C）为无穷大（D）不存在但不是无穷大2 不定积分 =( )（A）（B）（C）（D）arctanx+C3 设函数 =( )（A）0（B）（C） 1（D）24 幂级数 的收敛域是( )（A）一 1，13（B） -1，1)（C） (一 1，1（D）(一 1，1)5 设函数 则 x=0 是函数 f(x)的( )（A）可去间断点（B）连续点（C）无穷间断点（D）跳跃间断点二、填空题6 设函数 f(x)的定义域为0 ，10，则
2、f(1nx)的定义域为 _7 极限 的值等于_8 曲面 z=xy 一 2 在点(1 ，1，一 1)处的切平面方程为_9 设积分区域 D=(x，y) x 2+y22x，则二重积分 在极坐标系下的二次积分为_10 过点(1 ，1，1) 且与直线 平行的直线方程为_.三、综合题11 求极限12 已知参数方程 确定函数 y=y(x)，求13 求函数 f(x)=x3 一 3x2 一 9x+1 的极值14 设函数 z=f(x2，xy 2+(y)，其中 f(u，v)具有二阶连续偏导数， (y)一阶可导，求和15 设函数 f(x，y，z)=xy 2+yz2 (1)求函数 f(x，y，z)在点 P0(2，一 1
3、，1)处的梯度gradf(2，一 1，1) (2)求函数 f(x，y，z) 在点 P0(2，一 1，1)处沿梯度 gradf(2，一 1，1) 方向的方向导数16 求不定积分e xln(1+ex)dx17 设 f(x)具有二阶连续导数，并且 f(0)=3，f()=2，计算 0f(z)+f(x)sinxdx18 计算对坐标的曲线积分 I=L(y-1)dx+(x+1)dy 其中 L 是摆线 x=tsint，y=1 一 cost上由点 A(0，0) 到 B(2， 0)的一段弧19 求幂级数 的收敛。区间及和函数 S(x)，并求级数 的和20 求微分方程 y一 y=2x 的通解四、证明题21 计算由曲
4、线 y=1 一 x2，直线 x=2，x=一 2 及 z 轴所围平面图形的面积 A 及该平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积 V22 证明：当 x0 时，e xln(1+x)一 1xln(1+x)2010 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 所以原式极限不存在，选 D。2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，选 B。3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 选 D。4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 所以收敛区间为(一 1，1)，所以收敛域为(一 1，15 【正确答案】 A【试题解析】 因为
5、 左右极限存在但不等于该点的函数值，所以为可去间断点，选 A。二、填空题6 【正确答案】 1，e 10【试题解析】 因为 f(x)定义域为 0x10，所以有 0lnx10 得 1xe 107 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 x+yz-3=0【试题解析】 由题可得 zx(1，1，一 1)=y (1,1,-1)=1 zy(1，1，一 1)=x (1,1,-1)=1 所以 z=xy-z 在点(1，1，一 1)处法向量为(1，1，一 1)，所以在该点切平面方程为(x一 1)+(y-1)-(z+1)=0 即为 x+y 一 z-3=09 【正确答案】 【试题解析】 由积分区域 D 知：要积分
6、的积分区间为10 【正确答案】 【试题解析】 由题知，已知直线的方向向量为即过点(1 ，1，1) 的直线的方向向量也为(4，一 1，一 3)所以过该点直线方程为三、综合题11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 f(x)=3x 2 一 6x 一 9=3(x+1)(x 一 3)由 f(x)=0，得驻点 x1=一1，x 2=3 又 f(x)=6x-6 由 f(-1)=一 120 知，函数 f(x)在 x=一 1 处取得极大值 f(一1)=6 由 f(3)=120 知，函数 f(x)在 x=3 处取得极小值 f(3)=一 2614 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案
7、】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 收敛半径 R=1，收敛区间(一 1，1)20 【正确答案】 特征方程为 r2 一 r=0，r 1=1，r 2=0 齐次方程的通解为 Y=C1ex+C2设 y一 y=2x 的一个特解为 y*=x(ax+6)则 y*=2ax+b，y *=2a，代入原方程，得 2a 一2axb=2x，解出 a=一 1，b= 一 2，y *=一 x2 一 2x通解为 y=C1ex+C2 一 x2 一 2x四、证明题21 【正确答案】 22 【正确答案】 从而 f(x)0，即 f(x)当 x0 时单调增加又因为 f(x)在 x=0 处连续，故当 x0 时，有 f(x)f(0)=0 所以f(x)当 x0 时单调增加又 f(x)在 x=0 处连续，所以当 x0 时，有 f(x)f(0)=0即 ex 一 ln(1+x)一 1xln(1+x)
