1、2011 年河南省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 f(x)=ln(2-x)+ 的定义域是 ( )（A）(-，2)（B） (-2，+)（C） (-2，2)（D）(0 ，2)2 设 f(x+1)=x2+2x+2，则 f(x)= ( )（A）x 2（B） x2+1（C） x2-5x+6（D）x 2-3x+23 设函数 f(x)(-x+)为奇函数，g(x)(-x+)为偶函数，则下列函数必为奇函数的是 ( )（A）f(x).g(x)（B） fg(x)（C） gf(x)（D）f(x)+g(x)4 ( )（A）-1（B） 1（C） 0
2、（D）不存在5 设函数 f(x)=1，则 = ( )（A）4（B） 5（C） 2（D）16 当 x0 时，下列无穷小量与 x 不等价的是 ( )（A）x-（B） ex-2x3-1（C）（D）sin(x+sinx)7 设函数 f(x)= 则 x=0 是 f(x)的 ( )（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）连续点（D）第二类间断点8 函数 sinx 的三阶段是( )（A）sinx（B） -sinx（C） cosx（D）-cosx9 设 x-1，1 ，则 arcsinx+arccosx=( )（A）（B）（C） 0（D）110 若 f(x0)=0，f(x 0)0，则下列表述正确的是 ( )（A）
3、x 0 是函数 f(x)的极大值点（B） x0 是函数 f(x)的极小值点（C） x0 不是函数 f(x)的极值点（D）无法确定 x0 是否为 f(x)的极值点11 函数 y=arcsin 所表示的曲线 ( )（A）仅有水平渐近线（B）仅有垂直渐近线（C）既有水平渐近线，又有垂直渐近线（D）既无水平渐近线，又无垂直渐近线12 = ( )（A）0（B） 2（C） -2（D）以上都不对13 方程 sinx+x-1=0 在区间(0，1) 内根的个数是 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）314 设函数 f(x)是 cosx 的一个原函数，则 df(x)= ( )（A）sinx+C（B） -sin
4、x+C（C） -cosx+C（D）cosx+C15 设 F(x)= sintdt，则 F(x) ( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数16 = ( )（A）-xe x（B） xex（C） eb-ex（D）be b-xex17 由曲线 y=sinx(0x)与 x 轴所围成的区域的面积为 ( )（A）0（B） 2（C）（D）18 关于二阶常微分方程的通解，下列说法正确的是 ( )（A）一定含有两个任意常数（B）通解包含所有解（C）一个方程只有一个通解（D）以上说法都不对19 微分方程 y+3y=x 的通解是 ( )（A）y=2x+Ce 2x+1（B） y=xex+Cx-1（C
5、） y=3x+Cex+（D）y= +Ce-3x-20 已知向量 a=i+j+k，则垂直于 a 且垂直于 y 轴的向量是 ( )（A）i-j+k（B） i-j-k（C） i+k（D）i-k21 对任意向量 a，b，下列等式不恒成立的是 ( )（A）a+b=b+a（B） a-b=b.a（C） ab=ba（D）(a.b) 2+(ab)2=a2b222 直线 与平面 x+y-z=2 的位置关系是 ( )（A）平行（B）直线在平面内（C）垂直（D）相交但不垂直23 的值为 ( )（A）0（B） 1（C）（D）不存在24 函数 f(x， y)在(x 0，y 0)处两个偏导数 fx(x0，y 0)， fy(
6、x0，y 0)都存在是 f(x，y)在该点处连续的 ( )（A）充要条件（B）必要非充分条件（C）充分非必要条件（D）既非充分又非必要条件25 函数 z=ln(1+ )在点(1，1)处的全微分出 dz (1,1)= ( )（A）0（B） (dx-dy)（C） dx-dy（D）26 设 I= ，则交换积分次序后 ( )27 设 L 为三个顶点分别为(-1，0) ，(0，0)和(0，1)的三角形区域的边界，L 的方向为顺时针方向，则 L(3x-y)dx+(x-2y)dy= ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）-128 设 D=(x,y)0x ，-1y1 ，则 cos(2xy)dxdy= ( )
7、29 若级数 都发散，则下列表述必正确的是 ( )30 若级数 (x-2)n 在 n=-2 处收敛，则此级数在 x=4 处 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性不能确定二、填空题31 =_32 设 f(x)为奇函数，则 f(x0)=3 时，f(-x 0)=_33 曲线 y=lnx 上点(1，0)处的切线方程为_34 =_35 以 C1e-2x+C2xe-2x 为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为_36 点(1 ，2，3) 关于 y 轴的对称点为_37 函数 z=ex+y 在点(0，0)处的全微分 dz (0,0)=_38 由 x+y+xy=1 所确定的隐函数 y=f(x)在
8、 x=1 处的导数为_39 函数 z=x2+y2 在点(1，2)处沿从点(1，2) 到点(2， 2+ )方向的方向导数等于_40 幂级数 的收敛区间为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。41 用夹逼准则求极限 的值42 讨论函数 f(x)= 在 x=0 处的可导性43 求不定积分44 求定积分45 求微分方程 y+3y+2y=ex 的通解46 设 z=(x+y，x 2)，且 具有二阶连续偏导数，求47 求曲面 ez-z+xy=3 在点 (2，1，0)处的切平面方程48 计算二重积分 ex+yd，其中 D 是由直线 x+y=1 和两条坐标轴所围成的闭区域49 计算 Lxdx+ydy+(x+y
9、-1)dz，L 是从点 A(1，1，1)到点 B(1，1，4)的直线段50 将 f(x)= 展开成 x+1 的幂级数四、综合题51 求点(0 ，1)到抛物线 y=x2 上的点的距离的平方的最小值52 求几何体 x2+y2+4z44 的体积五、证明题53 设函数 f(x)，g(x) 均在闭区间 a，b上连续，f(a)=g(b)，f(b)=g(a)，且 f(a)g(b)，证明：存在 (a，b) ，使 f()=g()2011 年河南省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 得-2x22 【正确答案】 B【试题
10、解析】 由 f(x+1)=x2+2x+2=(x+1)2+1，令 x+1=t，得 f(t)=t2+1，则 f(x)=x2+13 【正确答案】 A【试题解析】 奇函数与偶函数之积仍为奇函数，A 为正确的选项4 【正确答案】 C【试题解析】 根据无穷小量与有界函数之积仍为无穷小量的性质可知 C 为正确选项5 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 =2，所以 sin(x+sinx)与 x 不等价7 【正确答案】 B【试题解析】 =1，即左右极限均存在但不相等，故 x=0是 f(x)的跳跃间断点8 【正确答案】 D【试题解析】 由 y=sinx 的 n 阶导数为 y(n)=si
11、n(x+ )可得 y(3)=sin(x+ )=-cosx9 【正确答案】 A【试题解析】 令 f(x)=arcsinx+arccosx，则 f(x)= ，得 f(x)=C，当 x=0 时，f(0)=C=10 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x0)=0，f(x 0)0 知 f(x)为非常数函数，且在 x0 处取得极值，又f(x0)0，知 f(x)为凹的，故 x0 为 f(x)的极小值点故选 B.11 【正确答案】 A【试题解析】 因 =0，所以有水平渐近线因 arcsin 的定义域为1，即x1，所以 x 不可能接近于零，故没有垂直渐近线12 【正确答案】 D【试题解析】 =-，发散，故选
12、D.13 【正确答案】 B【试题解析】 令 f(x)=sinx+x-1，因在区间(0，1)内 f(x)=1+cosx0，所以函数是严格单调递增的，又因 f(0)=-10，f(1)=sin10，由零点定理可知 B 为正确选项14 【正确答案】 A【试题解析】 函数 f(x)是 cosx 的一个原函数，则 f(x)=sinx，从而df(x)=sinx+C15 【正确答案】 C【试题解析】 因为正弦 sint 与余弦 cost 均为以 2 为周期的周期函数，所以ecosxsinx 也是以 2 为周期的周期函数，又因周期函数在一个周期内的积分与积分的上下限无关，所以 F(x)= ，由积分区间的对称性和
13、被积函数为奇函数，知 C 为正确选项16 【正确答案】 A【试题解析】 根据 f(t)dt=fu(x).u(x)-fv(x)，显然 =0-xex=-xex17 【正确答案】 B【试题解析】 y=sinx(0x)与 x 轴所围成的区域面积为 =-(cos-cos0)=218 【正确答案】 A【试题解析】 由微分方程通解的定义易知 A 为正确选项19 【正确答案】 D【试题解析】 由齐次微分方程 y+3y=0，可得其通解为 y=Ce-3x，结合选项知 D 正确20 【正确答案】 D【试题解析】 因 y 轴的方向向量为0，1，0)，所求的垂直于 y 轴的向量必有第 2个分量为 0，从而可以排除选项
14、A 和 B；又因所求向量垂直于 a，则二者对应分量乘积之和必为 0，但 a 的第 1 和第 3 个分量均为 1，则所求向量的第 1 和第 3 个分量必为相反数，故选 D.21 【正确答案】 C【试题解析】 向量加法满足交换律，故 A 恒成立；向量的内积为一固定常数，与顺序无关，故 B 恒成立；选项 D 中的左右两侧均为常数，也恒成立；而选项 C 左右两侧是向量的外积，与顺序有关，一般情况下并不相等，仅当 a，b 平行时才成立，故 C 为正确选项22 【正确答案】 A【试题解析】 直线的方向向量为 =1，-1，0，平面的法向量为 =1，1，-1)，因为 =0，即 ，从而可知直线与平面平行，又因直
15、线过定点 M0(0，0，0)，该点显然不在平面内，所以选 A.23 【正确答案】 C【试题解析】 24 【正确答案】 D【试题解析】 函数 f(x，y) 在(x 0，y 0)处两个偏导数都存在是 f(x，y)在该点连续的既非充分又非必要条件，D 为正确选项25 【正确答案】 B【试题解析】 因 z= lim(x+y)-liny，则26 【正确答案】 C【试题解析】 由 知，积分区域为 D=(x，y)0y1，0x )，该区域又可表示为 D=(x，y)0x1，0y1-x 2，所以选 C.27 【正确答案】 D【试题解析】 P(x ，y)=3x-y,Q(x，y)=x-2y，则 =1，因为 L 的方向
16、为顺时针方向，由格林公式得 L(3x-y)dx+(x-2y)dy= =(-2) 11=-128 【正确答案】 B【试题解析】 因为在-1，1上，ycos(2xy) 为关于 y 的奇函数，所以 ycos(2xy)dy=0，从而 cos(2xy)dxdy= ycos(2xy)dy=029 【正确答案】 C【试题解析】 对于选项 A，取 都发散，但其和 (an+bn)收敛；对于选项 B，取 都发散，但 收敛；对于选项 D，取都发散，但 收敛，故选 C30 【正确答案】 C【试题解析】 令 t=x-2，则 ，当 x=-2 时，t=-4，即级数在 t=-4 处收敛，从而级数 在-4，4) 内绝对收敛，当
17、 x=4 时，t=2，该点落在收敛域内，故选 C.二、填空题31 【正确答案】 e -1【试题解析】 32 【正确答案】 3【试题解析】 因为奇函数 f(x)的导函数为偶函数，所以 f(-x)=f(x)，又 f(x0)=3，故 f(-x0)=333 【正确答案】 y=x-1【试题解析】 曲线 y=lnx 上点(1，0)处的切线的斜率为 k=y= =1，又切线过点(1， 0)，所以切线方程为 y=x-1。34 【正确答案】 【试题解析】 =lnx-1-lnx+C=35 【正确答案】 y+4y+4y=0【试题解析】 由通解形式可知二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程有二重根r1=r2=-2，则特征
18、方程为 (r+2)2=0，即 r2+4r+4=0，所以齐次微分方程为y+4y+4y=036 【正确答案】 (-1，2，-3)【试题解析】 在空间直角坐标系中，点(x 0，y 0，z 0) 关于坐标原点的对称点为(-x0，-y 0，-z 0)； 关于 x 轴的对称点为(x 0，-y 0，-z 0)； 关于 y 轴的对称点为(-x0，y 0，-z 0)； 关于 z 轴的对称点为(-x 0，-y 0，z 0)； 关于 xOy 坐标面的对称点为(x0，y 0，-z 0)； 关于 xOz 坐标面的对称点为(x 0，-y 0，z 0)； 关于 yOz 坐标面的对称点为(-x 0，y 0， z0)37 【正
19、确答案】 dx+dy【试题解析】 =ex+y， =ex+y，当 x=y=0 时， =1，则dz= =dx+dy38 【正确答案】 【试题解析】 方程 x+y+xy=1 两侧同时对 x 求导，得 1+y+y+xy=0，则y= ，当 x=1 时，代入原方程得 y=0，所以39 【正确答案】 【试题解析】 因 z=x2+y2，则 =2y，在点(1，2)处有 =4 从点(1， 2)到点 (2， )的方向向量为 ，所以 =2，从而其方向余弦分别为 cos= ，所以函数 z=x2+y2 在点 (1，2)处沿 的方向导数等于40 【正确答案】 (-1，1)【试题解析】 因为 = =1，所以收敛半径R= =1
20、，从而收敛区间为(-1，1)三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。41 【正确答案】 显然TnXnSn对于 Tn，S n，当 n时，42 【正确答案】 对于 f(x)，因为 为有界函数，根据无穷小量与有界量的积仍为无穷小量知 =0又当 x=0 时，f(0)=0 故 =f(0) 故f(x)在 x=0 处连续且可导43 【正确答案】 =arctant+C=arctanex+C.44 【正确答案】 =e-(e-1)=145 【正确答案】 微分方程对应的特征方程为 r2+3r+2=0，解得 r1=-1，r 2=-2，故相应齐次微分方程的通解为 y=C1e-x+C2e-2x； 根据原方程的自由项为 ex
21、 可知原方程有形如 y=kex 的特解，代入原方程得 kex+3kex+2kex=ex，解得 k= ，故原方程的通解为 y=C1e-x+C2e-2x+ (C1，C 2 为任意常数) 46 【正确答案】 因为 z=(x+y,x2)，且 具有二阶连续偏导数，所以47 【正确答案】 令 F(x，y，z)=e z-z+xy-3，则 (x，y，z)=y， (x，y，z)=x，(x， y，z)=e z-1， (2，1，0)=1， (2，1，0)=2， (2，1，0)=0，故点(2，1， 0)处的切平面方程为 1(x-2)+2(y-1)+0(z-0)=0，即 x+2y-4=048 【正确答案】 积分区域可表
22、示为 D=(x ，y)0x1，0y1-x，则 49 【正确答案】 L 是从点 A(1，1，1)到点 B(1，1，4)的直线段，其参数方程为，(0t1)则 Lxdx+ydy+(x+y-1)dz= =350 【正确答案】 因为 (-1)(x+1)n，(-1x+1 1) 四、综合题51 【正确答案】 令点(0，1)到抛物线 y=x2 上的点的距离为 d(x，y)，则 d2(x，y)=(x-0)2+(y-1)2=y+(y-1)2=y2-y+1=(y- ，又知 y=x20，故所求距离平方的最小值为52 【正确答案】 解法一：几何体在 xOy 表面上的投影区域为 D=(x,y)x 2+y24)=(r，)0
23、2,0r2) 由几何体的对称性可知，几何体的体积为 解法二：易知几何体x2+y2+4z24 被平面 z=h(-1h1)所截得的截面是一个半径为 的圆面，其面积为 Sz=4(1-h4)， 则几何体的体积 V=五、证明题53 【正确答案】 令 F(x)=f(x)-g(x)，因为 f(x)，g(x) 均在闭区间a，b上连续，所以F(x)也在闭区间a，b上连续，且 F(a)=f(a)-g(a)，F(b)=f(b)-g(b)由于 f(a)f(b)，所以 f(a)f(b) 或 f(a)f(b) 当 f(a)f(b)时，由 f(a)=g(b)，f(b)=g(a) ，可知F(a)=f(a)-g(a)=f(a)-f(b)0，F(b)=f(b)-g(b)=f(b)-f(a) 0由连续函数的介值定理可知，存在 (a，b)，使 F()=0，即 f()=g()类似可证当 f(a)f(b)时结论仍然成立
