1、2011 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列极限存在的是( )（A）（B）（C）（D）2 设曲线 y=x2+x 一 2 在点 M 处的切线率为 3，则点 M 的坐标是( )（A）(一 2，0)（B） (1，0)（C） (0，一 2)（D）(2 ，4)3 设函数 f(x)=xex，则 f11(x)=( )（A）10xe x（B） 11xex（C） (x+10)ex（D）(x+11)e x4 下列级数绝对收敛的是( )（A）（B）（C）（D）5 设闭曲线 L：x 2+y2=4，则对弧长的曲线积分 的值为( )（A）4e
2、2（B）一 4e2（C） 2e2（D）一 2e2二、填空题6 已知函数 则定积分 的值等于_7 微分方程 的通解为 y=_8 过点(1 ，1，0) 并且与平面 x+2y 一 3z=2 垂直的直线方程为_9 设函数 f(x， y)=x3+3xy2，则函数 f(x，y) 在点(1，1)处的梯度为_10 已知函数 f(x)在0，1上有连续的二阶导数，且 f(0)=1，f(1)=2，f(1)=3，则定积分 的值等于_三、综合题11 求极限12 设参数方程 确定了函数 y=y(x)，求13 设函数 f(x)=2x3 一 9x2+12x 一 3，求 f(x)的单调区间和极值14 设函数 z=f(x，xln
3、x)，其中 f(u，v)具有二阶连续偏导数，求15 计算不定积分16 设函数 f(x)在(_，+)内具有二阶导数,且 f(0)=f(0)=0，试求函数 f(x)=的导数。17 计算二重积分 ，其中积分区域D=(x，y) x 2+y2418 计算对坐标的曲线积分 I=L(x2+y)dx+(xsiny)dy，其中 L 是圆周上由点(0，0)到点(1，1) 的一段狐。19 求幂级 州数的收敛区间及和函数，并求 的和20 已知对坐标的曲线积分 在 xoy 平面内与路径无关，且 f(0)=f(0)=1，求函数 f(x)四、证明题21 求由曲线 y=x2 一 2x+9 与该曲线过原点的两条切线所围成图形的
4、面积。22 设函数 f(x)在1，3上连续，在 (1，3)内可导，并且 f(1)=23xf(x)dx，证明在(1，3)内至少存在一点 c，使得 f(x)=一 cf(c)2011 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 所以存在极限，选 C。2 【正确答案】 B【试题解析】 由题意可得：f(x)=2x+1=3，把 A、B、C、D 代入上式，只有 B 项符合，故选 B。3 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)=e x+xex=ex(1+x) f(x)=ex+ex+xex=ex(2+x) f(x)
5、=ex+ex+ex+xex=ex(3+x) 由此可得 f(x)=ex(11+x) 选 D4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 收敛所以原级数绝对收敛5 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可知积分路径为 02二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 7 【正确答案】 Cx【试题解析】 原微分方程可变为： 变形为8 【正确答案】 【试题解析】 由题可知平面的法向量为(1，2，一 3)其法向量是平行于过点(1，1， 0)的直线，所以过该点直线方程为：9 【正确答案】 6i+6j【试题解析】 由题可知 梯度公式为：gradf(x，y)=f xi+fyj 所以f(x，y)在点(1，1)处梯度为 6i
6、+6j10 【正确答案】 2【试题解析】 =32+1=2三、综合题11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 f(x)=6x 2 一 18x+12=6(x 一 1)(x 一 2)令 f(x)，得驻点 x=1，x=2 当x1 时，f(x)0；当 1x2 时，f(x) 0 当 x2 时，f(x) 0，故函数 f(x)在区间(一 ，1) 和(2，一)内单调增加；f(x)在区间(1，2)内单调减少 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)=2，在 x=2 处取得极小值 f(2)=114 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 当 x0 时， 当 x=0 时，17 【正确
7、答案】 将区域 D 分为 D1=(x，y)x 2+y24D2=(x，y) 1x 2+y2418 【正确答案】 P=x 2+y，Q=xsiny19 【正确答案】 收敛区间为(一 1，1)20 【正确答案】 四、证明题21 【正确答案】 设切点为(x 0，y 0)，则切线方程为 y=2(x 0 一 1)x 代入曲线方程式，得 2(x0 一 1)x0=x0 一 2x0+9，解出 x02=9;x0=3 切线方程为 y=4x 和 y=一 8x 所求面积为22 【正确答案】 设 F(x)=xf(x)由积分中值定理知，在2，3上至少有一点 ，使由条件知 F(x)在 1， 上连续，在(1 ，) 内可导，且 F(1)=F()由 Rolle 定理知， 即 f(c)=一 f(c)
