1、2013 年广东专插本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 当 0 时，下列无穷小量中，与 不等价的无穷小量是 ( )（A）1n(+1)（B） arcsin（C） 1-cos（D）2 曲线 ( )（A）只有水平渐近线（B）只有铅垂渐近线（C）既有水平渐近线也有铅垂渐近线（D）无渐近线3 下列函数中，在区间-1，1上满足罗尔(Rolle) 定理条件的是 ( )（A）（B） y=（C）（D）4 设函数 f()=sin+cos，则下列结论正确的是 ( )（A）f(0)是 f()的极小值，f( )是 f()的极大值（B） f(0)是 f()的极大
2、值，f( )是 f()的极小值（C） f(0)和 f( )都是 f()的极小值（D）f(0)和 f( )都是 f()的极大值5 若函数 f()和 F()满足 F()=f()(R)，则下列等式成立的是 ( )（A） F(2ln+1)d=2f(2ln+1)+C（B） F(2ln+1)d= (2ln+1)+C（C） f(2ln+1)d=2F(2ln+1)+C（D） f(2ln+1)d= F(2ln+1)+C二、填空题6 要使函数 处连续，应补充定义 f(1)=_。7 曲线 在 t=0 相应的点处的切线方程是 y=_。8 函数 在 =0 处的左导数 f(0)=_。9 已知平面图形 G=(，y)1，0y
3、 ，将图形 G 绕 轴旋转一周而成的旋转体体积 V=_。10 设 D 为圆环域：1 2+y24，则二重积分 =_。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 计算 。12 已知函数 f()具有连续的一阶导数，且 f(0).f(0)0，求常数 a 和 b 的值，使。13 求由方程 ylny+y=e2所确定的隐函数在 =0 处的导数 。14 求曲线 的凹、凸区间及其拐点坐标。15 计算不定积分 。16 计算定积分 。17 求二元函数 的全微分 dz 及二阶偏导数 。18 求微分方程 y -2y+(1-k)y=0(其中常数 k0)的通解。四、综合题19 交换二次积分 的积分次序，并求 I 的值。19
4、 已知 f()是定义在区间0，+) 上的非负可导函数，且曲线 y=f()与直线y=0，=0 及 =t(t0)围成的曲边梯形的面积为 f(t)=t2。 求20 函数 f()；21 证明：当 0 时， 。2013 年广东专插本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C2 【正确答案】 B3 【正确答案】 C4 【正确答案】 A5 【正确答案】 D二、填空题6 【正确答案】 7 【正确答案】 8 【正确答案】 e -19 【正确答案】 10 【正确答案】 2三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 12 【正确答案】
5、由题意知：af(0)+bf(0)-f(0)=0 ，af (0)+2bf(0)=0， 因为 f(0).f(0)0，即 f(0)0，f (0)0， 所以 a+b-1=0，a+2b=0， 由此解得 a=2，b=-1。13 【正确答案】 方法一 等式两边对 求导数得：(y+y )lny+y+y=2e2， 即y(1+lny)-2e2-ylny， 所以 。 又因为 =0 时，y=1，故。 方法二 设 F()=ylny+y-e2，则 F =ylny-2e2，F y=lny+1， 所以。 又因为 =0 时，y=1，故 。14 【正确答案】 函数的定义域为(-，+) ， 令 y =0，解得 =0，当 0 时 y
6、0；当 0 时 y 0。故曲线的凹区间为 (-，0)；曲线的凸区间为(0，+) ；曲线的拐点为(0，ln2) 。15 【正确答案】 16 【正确答案】 令 ，则 =t2-1，d=2tdt，17 【正确答案】 18 【正确答案】 由微分方程的特征方程 r2-2r+1-k=0 解得 所以当 k0 时，方程有两个不相等的实根； 当 k=0 时，方程有唯一实根 1。 故当 k0 时，通解为 ； 当 k=0 时，通解为 y=(C 1+C2)e四、综合题19 【正确答案】 由题设条件知，积分区域 D=(，y) 01，e ye，如图：交换积分次序得 20 【正确答案】 由题意知 ， 两边对 t 求导数得：f(t)=f (t)-2t，且 f(0)=0， 由 f()-f(t)=2t 解得 由 f(0)=-2+C=0 得 C=2， 所以f(t)=-2t-2+2e=2(e-t-1)， 故 f()=2(e-1)，(0)。21 【正确答案】 设 ， 则 F()=2(e-1)-2-3， F ()=2e-2-2=2(e-1)=f()0，(0) ， 所以 F()在(0，+)内单调递增，因此，当0 时，有 F()F(0)=0， 由此可知 F()在(0，+)内单调递增， 故当 0 时，有 F()F(0)=0 ，即 ， 所以 。
