1、专升本高等数学一（多元函数微分学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 = ( )（A）0（B）（C）一（D）+2 关于函数 f(x，y)= 下列表述错误的是 ( )（A）f(x，y)在点(0，0)处连续（B） fx(0，0)=0（C） fy(0，0)=0（D）f(x，y)在点(0，0)处不可微3 设函数 z=3x2y，则 = ( )（A）6y（B） 6xy（C） 3x（D）3x 24 设二元函数 z= = ( )（A）1（B） 2（C） x2+y2（D）5 已知 f(xy,xy)=x 2+y2，则 = ( )（A）2（B） 2x（C） 2y（D）2x+2y6 设 z=f(x，y)= 则下列
2、四个结论中， f(x，y)在(0，0)处连续； f x(0，0)，fy(0，0)存在；f x(x，y) ，f y(x，y)在(0 ，0)处连续； f(x，y)在(0，0)处可微正确结论的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设函数 z=2ln,而 = ，=3x 一 2y，则 = ( )8 曲面 z=F(x，y，z)的一个法向量为 ( )（A）(F x，F y，F z 一 1)（B） (Fx 一 1，F y 一 1，F z 一 1)（C） (Fx，F y，F z)（D）(一 Fx，一 Fy，1)9 曲面 z=x2+y2 在点(1，2，5)处的切平面方程为 ( )（A）2x+4yz
3、=5（B） 4x+2yz=5（C） z+2y 一 4z=5（D）2x 一 4y+z=510 函数 f(x， y)=x2+xy+y2+xy+1 的极小值点是 ( )（A）(1 ，一 1)（B） (一 1，1)（C） (一 1，一 1)（D）(1 ，1)11 函数 z=x2 一 xy+y2+9x 一 6y+20 有 ( )（A）极大值 f(4，1)=63（B）极大值 f(0，0)=20（C）极大值 f(一 4，1)= 一 1（D）极小值 f(一 4，1)=一 1二、填空题12 已知函数 f(x+y，e xy )=4xyexy ，则函数 f(x，y)=_13 设 z=xy，则 dz=_14 设 f(
4、x，y)=sin(xy 2)，则 df(x，y)=_15 已知 z=(1+xy)y，则 =_16 设 f(x)连续，z= f(xy)+yf(x+y)，则 =_17 设 z= =_18 曲面 x2+3z2=y 在点(1，一 2，2)的法线方程为_19 二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的驻点为_ 20 设 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极值的必要条件是_21 求函数 z=arcsin 的定义域22 设函数 z=x2siny+yex，求 23 已知 z=ylnxy，求 24 设 2sin(x+2y 一 3z)=x+2y 一
5、 3z，确定了函数 z=f(x，y)，求 25 设 =f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 exy 一 y=0 和 ez 一xz=0 所确定，求 26 设 z=2 一 2，而 =xcosy，=xsiny，求 27 设 f(xy， x+y)=x2 一 y2，证明 =x+y28 设函数 z(x，y)由方程 =0 所确定，证明： =zxy29 求曲面 ez 一 z+xy=3 过点(2 ，1，0)的切平面及法线30 求椭球面 x2+2y2+3z2=21 上某点 M 处的切平面 的方程，且 过已知直线 L：31 求旋转抛物面 z=x2+y2 一 1 在点(2，1，4)处的
6、切平面及法线方程32 确定函数 f(x，y)=3axyx 3 一 y3(a0) 的极值点33 某工厂建一排污无盖的长方体，其体积为 V，底面每平方米造价为 a 元，侧面每平方米造价为 b 元，为使其造价最低，其长、宽、高各应为多少?专升本高等数学一（多元函数微分学）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 ，随 k 取不同数值而有不同的结果，所以 不存在，从而f(x，y)在(0，0)点不连续，因此选项 A 是错误的，故选 A【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 z=3x2y，则
7、 =3x2【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 z= =1【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 因 f(xy，xy)=x 2+y2=(xy)2+2xy，故 f(x，y)=y 2+2x，从而=2【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 对于结论， =0=f(0，0) f(x，y)在(0，0)处连续，所以成立；对于结论，用定义法求 fx(0，0)= =0同理可得 fy(0，0)=0 0成立；对于结论，当(x， y)(0，0)时，用公式法求 因为当(x，y)(0，0)时，不存在，所以 fx(x，y)在(0，0)处不连续同理，f
8、 y(x，y)在(0，0)处也不连续，所以不成立；对于结论 ，f x(0，0)=0，f y(0， 0)=0，z=f(0+ x，0+y)f(0，0)=(x) 2+(y)2)sin =2 故 f(x，y)在(0，0)处可微，所以成立，故选 C【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 A【试题解析】 令 G(x，y，z)=F(x ，y，z)一 z，则 Gx=Fx，G y=Fy，G z=Fz 一 1，故法向量为(F x， Fy，F z 一 1)【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 A【试题解析】 令 F(x，y， z)=x2+y
9、2 一 z，F x(1，2，5)=2，F y(1，2，5)=4， Fz(1，2，5)= 一 1 切平面方程为 2(x 一 1)+4(y 一 2)一(z 一 5)=0 2x+4yz=5，也可以把点(1，2，5)代入方程验证，故选 A【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 B【试题解析】 f(x ，y)=x 2+xy+y2+xy+1，f x(x， y)=2x+y+1，f y(x，y)=x+2y 一1，令 得驻点(1，1)又 A=fxx(x，y)=2，B=f xy=1，C=f yy=2，B 2 一AC=14=一 30，又 A=20， 驻点( 一 1，1)是函数的极小值点【知识模块】 多元函数
10、积分学11 【正确答案】 D【试题解析】 因 z=x2xy+y 2+9x6y+20，于是 =一 x+2y6，令 =0，得驻点( 4，1)，又因 =2，故对于点(4，1)， A=2，B=一 1，C=2，B 2 一AC=30，且 A0，因此 z=f(x，y)在点( 一 4，1)处取得极小值，且极小值为f(一 4，1)=一 1【知识模块】 多元函数积分学二、填空题12 【正确答案】 (x 2 一 ln2y)y【试题解析】 由于 f(x+y，e xy )=(x+y)2 一 ln2exy e xy ，所以 f(x，y)=(x 2 一ln2y)y【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 yx y1
11、dx+xylnxdy【试题解析】 z=x y，则 =yxy1 ， =xylnx，所以 dz=yxy1 dxx ylnxdy【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 y 2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy【试题解析】 df(x，y)=cos(xy 2)d(xy2)=cos(xy2)(y2dx+2xydy) =y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 1+2ln2【试题解析】 由 z=(1+xy)y，两边取对数得 lnz=yln(1+xy)，则 ，所以=1+2ln2【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 yf
12、(xy)+f(x+y)+yf(x+y)【试题解析】 f(xy)y+yf (x+y)， ff(xy)x+f (x+y)+yf(x+y)=yf(xy)+f(x+y)+yf(x+y)【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 【试题解析】 记 F(x，y， z)=x2+3z2 一 y，M 0(1，一 2，2)，则 取 n=(2，一1，12) ，所求法线方程为 【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 (0， )【试题解析】 f x(x，y)=2x(2+y 2)，f y(x，y)=2x 2y+lny+1令 解得唯一驻点(0，)【知
13、识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 f x(x0，y 0)=fy(x0，y 0)=0【试题解析】 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则偏导数 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)存在，f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极值，则有 fx(x0，y 0)=fy(x0，y 0)=0；反之不成立【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 对于 1，即 x2+y24；在 中，应有 x2+y21，函数的定义域是以上两者的公共部分，即(x，y)1x 2+y24【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 =2xsiny+yex， =2sinyye x， =2xcosye
14、x【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 在 2sin(x+2y 一 3z)=x+2y 一 3z 两边对 x 求导，则有 2cos(x2y3z) ，整理得 同理，由 2cos(x2y 一 3z) ，得 =1也可使用公式法求解：记 F(x，y，z)=2sin(x+2y 一 3z)一 x 一 2y+3z，则 Fx=2cos(x+2y 一3z) (一 3) 3，F y=2cos(x+2y 一 3z)22，F x=2cos(x+2y 一 3z)一 1，故 =1【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 方程 exy 一 y=0 两边关于 x
15、求导，有 exy ，方程 ez 一xz=0 两边关于 x 求导，有 ez ，由上式可得 【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 由于 所以 =(2 一 2)cosy+(2 一 2)siny=(2x2cosysinyx2sin2y)cosy+(x2cos2y 一 2x2cosysiny)siny=2x2sinycos2yx2sin2ycosy+x2sinycos2y 一2x2sin2ycosy=3x2sinycosy(cosysiny) =(2 一 2)(一 xsiny)+(2 一 2)xcosy=(2x2cosysinyx2sin2y)(一 xsiny)+(x2cos2y 一 2x2c
16、osysiny)xcosy=一2x3sinycosy(siny+cosy)+x3(siny+cosy)(sin2ysinycosycos 2y)=x3(siny+cosy)(13sinycosy)【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 f(xy，x+y)=x 2 一 y2=(x+y)(xy)，故 f(x，y)=xy =x+y【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学29 【正确答案】 设 F(x，y，z)=e z 一 z+xy 一 3 则 Fx=y，F y=x，F z=ez 一 1，所以切平面的法向量为 n=(1，2，0) 所求切平面为 x 一 2+2
17、(y 一 1)=0，即 x+2y 一 4=0，法线为 【知识模块】 多元函数积分学30 【正确答案】 令 F(x，y，z)=x 2+2y2+3z2 一 21，则 Fx=2x，F y=4y，F z=6z椭球面的点 M(x0，y 0，z 0)处的切平面 的方程为 2x0(xx0)+4y0(yy0)+6z0(zz0)=0，即 x0x+2y0y+3z0z=21因为平面 过直线 L 上任意两点，比如点 应满足 的方程，代入有 6x0+6y0+ z0=21，z 0=2又因为 x02+2y02+3z02=21，解上面方程有：x0=3， y0=0， z0=2 及 x0=1，y 0=2，z 0=2故所求切平面的
18、方程为 x+2z=7 和x+4y+6z=21【知识模块】 多元函数积分学31 【正确答案】 F(x，y，z)=x 2+y2 一 z 一 1，n (2，1，4) =(2x，2y，一 1) (2，1，4)=(4，2，一 1)切平面方程为 4(x 一 2)+2(y 一 1)一(z 一 4)=0，即 4x+2y 一 z6=0法线方程为 【知识模块】 多元函数积分学32 【正确答案】 =0，联立有 解得 x=y=a 或 x=y=0， 在(0，0)点，0，所以(0 ，0) 不是极值点在(a ，a)点，0，且 =6a0(a0)，故(a， a)是极大值点【知识模块】 多元函数积分学33 【正确答案】 设长方体的长、宽分别为 x，y，则高为 ，又设造价为 z，由题意可得 z=axy+2b(x+y) (x0，y0)， 由于实际问题可知造价一定存在最小值，故 x=y= 就是使造价最小的取值，此时高为 所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为 时，工程造价最低【知识模块】 多元函数积分学
