1、专升本（高等数学一）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题1 设 f(x)在 x=2 处可导，且 f(2)=2，则 等于( ) （A）1/2（B） 1（C） 2（D）42 设 f(x)=1+x，则 f(x)等于 ( )（A）1（B） X+X2+C（C） x+ +C（D）2x+x2+C3 函数 y=sinx 在区间0 ， 上满足罗尔定理的 等于( )（A）0（B） /4（C） /2（D）4 设 ，则函数 f(x)在 x=a 处( )（A）导数存在，且有 f(a)=-1（B）导数一定不存在（C） f(a)为极大值（D）f(a)为极小值5 等于( )6 下列关系式正确的是( ) 7 设 y=sinx
2、，则 y|x=0 等于( )（A）1（B） 0（C） -1（D）-28 设 z=y2x，则 等于( )（A）2xy 2x-1（B） 2y2x（C） y2xlny（D）2y 2xlny9 交换二次积分次序 等于( )10 下列命题正确的是( ) 二、填空题11 12 设 f(x)在 x=1 处连续，13 设 y=x+ex，则 y_14 15 16 设 z=x2y2+3x,则17 过原点且与直线 垂直的平面方程为_18 设区域 D：0x1，1y2，则19 y=x 的通解为_20 级数 的收敛半径为_21 22 计算23 设 y=y(x)由方程 y2-3xy+x3=1 确定，求 dy24 设 z=f
3、(xy，x 2)，其中 f(x，y)有连续偏导数，求25 求微分方程 xy-y=x2 的通解26 设 存在，求 f(x)27 求曲线 y=x2+1 在点(1 ，2)处的切线方程并求该曲线与所求切线及 x=0 所围成的平面图形的面积28 设区域 D 为：专升本（高等数学一）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为导数在一点处的定义 可知应选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为不定积分的性质 可知应选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论 由于 y=sinx 在0，上连续，在(0，)内可导，且
4、 y|x=0=0=y|x=，可知 y=sinx 在0，上满足罗尔定理，因此必定存在 (0，)，使 y|x=cosx|x=cos=0，从而应有 故知应选 C4 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的知识点为导数的定义 由于 ，可知 f(a)=-1，因此选 A 由于 f(a)=-10，因此 f(a)不可能是 f(x)的极值，可知C，D 都不正确5 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为定积分的性质 由于当 f(x)可积时，定积分的值为一个确定常数，因此总有 故应选 D6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的知识点为导数公式 由于 可知应选 A8 【
5、正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为偏导数的运算 z=y2x，若求 ，则需将 z 认定为指数函数从而有 可知应选 D9 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为交换二次积分次序由所给二次积分可知积分区域 D 可以表示为1y2，yx2，交换积分次序后，D 可以表示为1x2，1yx，故应选 B10 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题11 【正确答案】 e-1【试题解析】 本题考查的知识点为重要极限公式12 【正确答案】 2【试题解析】 本题考查的知识点为：连续性与极限的关系；左极限、右极限与极限的关系 由于 f(x)在 x=1 处连续，可知 必定存在，由于，可知=13 【正
6、确答案】 1+e x【试题解析】 本题考查的知识点为导数的四则运算 y=(x+e x)=x+(ex)=1+ex14 【正确答案】 2【试题解析】 本题考查的知识点为极限运算 由于所给极限为“ ”型极限，由极限四则运算法则有 15 【正确答案】 ln(1+x)+C【试题解析】 本题考查的知识点为换元积分法16 【正确答案】 2xy(x+y)+3【试题解析】 本题考查的知识点为二元函数的偏导数 由于 z=x2y2+3x，可知 17 【正确答案】 2x+y-3z=0【试题解析】 本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量 s 平行于所求平面的法向量
7、 n由于 s=(2，1，-3)，因此可取 n=(2，1，-3) 由于平面过原点，由平面的点法式方程，可知所求平面方程为2x+y-3z=018 【正确答案】 1【试题解析】 本题考查的知识点为二重积分的计算 如果利用二重积分的几何意义，可知 的值等于区域 D 的面积由于 D 是长、宽都为 1 的正形，可知其面积为 1因此19 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为：求解可分离变量的微分方程 由于 y=x，可知 20 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为幂级数的收敛半径 所给级数为缺项情形，由于 21 【正确答案】 利用洛必达法则 原式 ，接下去有两种解法： 解法1 利用等价无穷
8、小代换 解法 2 利用洛必达法则 【试题解析】 本题考查的知识点为两个：“ ”型极限和可变上限积分的求导 对于可变上(下)限积分形式的极限，如果为“ ”型或“ ”型，通常利用洛必达法则求解，将其转化为不含可变上(下)限积分形式的极限22 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为定积分的换元积分法23 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为求隐函数的微分若 y=y(x)由方程 F(x，y)=0 确定，求 dy 常常有两种方法(1)将方程 F(x，y)=0 直接求微分，然后解出 dy(2)先由方程 F(x，y)=0 求 y，再由 dy=ydx 得出微分 dy24 【正确答案】 【试题
9、解析】 本题考查的知识点为求抽象函数的偏导数 已知 z：f(xy，x 2)，其中 f(x，y)有连续偏导数，求 通常有两种求解方法 解法 1 令 fi 表示厂对第 i 个位置变元的偏导数，则 这里应指出，这是当每个位置变元对 x 的偏导数易求时，才采用此方法相仿可解 有必要指出，由于第二个位置变元不依赖 y，因此第二个位置变元对 y 的偏导数为 0 解法 2 令 u=xy，v=x 2，则 z=f(u，v) 25 【正确答案】 将方程化为标准形式【试题解析】 本题考查的知识点为求解一阶线性微分方程 求解一阶线性微分方程常可以采用两种解法： 26 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为两个
10、：极限的运算；极限值是个确定的数值 设 是本题求解的关键未知函数 f(x)在极限号内或 f(x)在定积分号内的、以方程形式出现的这类问题，求解的基本思想是一样的请读者明确并记住这种求解的基本思想 本题考生中多数人不会计算，感到无从下手考生应该记住这类题目的解题关键在于明确： 如果 存在，则 表示一个确定的数值27 【正确答案】 ，因此曲线 y=X2+1 在点(1，2)处的切线方程为 y-2=2(x-1)， y=2x 曲线 y=x2+1，切线 y=2x 与 x=0 所围成的平面图形如图 3-1 所示 其面积 【试题解析】 本题考查的知识点为：求曲线的切线方程；利用定积分求平面图形的面积 28 【正确答案】 利用极坐标，区域 D 可以表示为 0,0r2【试题解析】 本题考查的知识点为二重积分的计算(极坐标系) 如果积分区域为圆域或圆的一部分，被积函数为 f(x2+y2)的二重积分，通常利用极坐标计算较方便 使用极坐标计算二重积分时，要先将区域 D 的边界曲线化为极坐标下的方程表示，以确定出区域 D 的不等式表示式，再将积分化为二次积分 本题考生中常见的错误为： 被积函数中丢掉了 r这是将直角坐标系下的二重积分化为极坐标下的二次积分时常见的错误，考生务必要注意
