1、专升本（高等数学一）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题1 等于( ) （A）0（B）（C）（D）2 设函数 f(x)在点 x0 处连续，则下列结论肯定正确的是( )3 设函数 f(x)在 x=1 处可导，且 ，则 f(1)等于( )（A）1/2（B） 1/4（C） -1/4（D）-1/24 函数 y=ln(1+x2)的单调增加区间是( )（A）(-5，5)（B） (-，0)（C） (0，+)（D）(-，+)5 设曲线 y=x-ex 在点(0，-1)处与直线 l 相切，则直线 l 的斜率为( )（A）（B） 1（C） 0（D）-16 已知 y=ksin2x 的一个原函数为 y=cos2x，则
2、 k 等于( )（A）2（B） 1（C） -1（D）-27 下列关系正确的是( ) 8 设 f(x)为连续函数，则 等于( )（A）f(x)-f(a)（B） f(a)-f(x)（C） f(x)（D）f(a)9 设函数 z=y3x，则 等于( )（A）y 3xlny（B） 3y3xlny（C） 3xy3x（D）3xy 3x-110 级数 (a 为大于 0 的常数)( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 a 有关二、填空题11 12 13 设 f(0)=0，f(0)存在，则14 y=x3-27x+2 在1，2上的最大值为_15 16 17 过点(1 ，-1，0)且与直线 平行的
3、直线方程为_18 级数 的收敛区间为_19 微分方程 exy=1 的通解为_20 设区域 D 由曲线 y=x2， y=x 围成，则二重积分21 计算22 设23 设 z=xy3+2yx2 求24 求 y“-2y-8y=0 的通解25 将 展开为 x 的幂级数26 求微分方程 y“-y-2y=3ex 的通解27 设 f(x)为连续函数，且28 设 F(x)为 f(x)的一个原函数，且 f(x)=xlnx，求 F(x)专升本（高等数学一）模拟试卷 26 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为连续性的定义，连续性与极限、可导性的关系
4、 由函数连续性的定义：若在 x0 处 f(x)连续，则 可知选项 D 正确，C 不正确 由于连续性并不能保证 f(x)的可导性，可知 A 不正确 自于连续必定能保证极限 等于 f(x0)，而 f(x0)不一定等于 0，B 不正确 故知应选 D3 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为可导性的定义 当 f(x)在 x=1 处可导时，由导数定义可得 可知 f(1)=1/4，故应选 B4 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为判定函数的单调性 y=ln(1+x 2)的定义域为(-，+) 当 xO 时，y0，y 为单调增加函数 当 x0 时，y0，y 为单调减少函数 可知函数 y=
5、ln(1+x2)的单调增加区间是(0，+) ，故应选 C5 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为导数的几何意义 由于 y=x-ex，y=1-ex，y| x=0=0由导数的几何意义可知，曲线 y=x-ex 在点(0，-1)处切线斜率为 0，因此选 C6 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为可变限积分求导由原函数的定义可知(cos2x)=ksin2x，而(cos2x)=(-sin2x)2，可知 k=-27 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为不定积分的性质 由不定积分的性质可知，故选 B8 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为可变限积分求导 由于当
6、f(x)连续时，可知应选 C9 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为偏导数的计算 z=y 3x 是关于 y 的幂函数，因此 故应选 D10 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的知识点为级数绝对收敛与条件收敛的概念 注意为 p=2 的 p 级数，因此为收敛级数，由比较判别法可知 收敛，故 绝对收敛，应选 A二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为微分的四则运算 注意若 u，v 可微，则12 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为重要极限公式13 【正确答案】 f(0)【试题解析】 本题考查的知识点为导数的定义 由于 f(0)=0，f(0) 存在，因此
7、 本题如果改为计算题，其得分率也会下降，因为有些考生常常出现利用洛必达法则求极限而导致运算错误： 因为题设中只给出 f(0)存在，并没有给出，f(z)(x0) 存在，也没有给出， f(x)连续的条件，因此上述运算的两步都错误14 【正确答案】 -24【试题解析】 本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值 若 f(x)在(a，b)内可导，在a，b上连续，常可以利用导数判定 f(x)在a，b上的最值： (1)求出f(x) (2)求出 f(x)在(a ，b)内的驻点 x1，xk (3)比较 f(x1)，f(x2) ，f(xk) ，f(a)，f(b)其中最大(小)值为 f(x)在a，b上的最大 (
8、小)值，相应的点 x 为 f(x)的最大(小)值点 y=x3-27x+2, 则 y=3x 2-27=3(x-3)(x+3), 令 y=0 得 y 的驻点 x1=-3，x2=3 ，可知这两个驻点都不在(1，2)内 由于 f(1)=-24，f(2)=-44，可知 y=x3-27x+2 在1，2上的最大值为-24 本题考生中出现的错误多为求出驻点 x1=-3，x2=3 之后，直接比较 f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44 ， 得出 y=x3-27x+2在1， 2上的最大值为 f(-3)=56其错误的原因是没有判定驻点 x1=-3，x2=3 是否在给定的区间(1，2)
9、 内，这是值得考生注意的问题在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视 本题还可以采用下列解法：注意到 y=3(x-3)(x+3)，在区间 1，2上有 y0，因此 y 为单调减少函数。可知 x=2 为 y 的最小值点，最小值为 y| x=2=-44 x=1 为 y 的最大值点，最大值为 y| x=1=-2415 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为两个：参数方程形式的函数求导和可变上限积分求导16 【正确答案】 e 4-e【试题解析】 本题考查的知识点为定积分的基本公式17 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系 由于两条直线平行的
10、充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1， -1)由直线的点向式方程可知所求直线方程为18 【正确答案】 (-，+)【试题解析】 本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间 19 【正确答案】 y=-e -x+C【试题解析】 本题考查的知识点为可分离变量方程的求解 可分离变量方程求解的一般方法为： (1)变量分离； (2) 两端积分 由于方程为 exy=1，先变形为 变量分离 dy=e-xdx 两端积分 为所求通解20 【正确答案】 1/6【试题解析】 本题考查的知识点为计算二重积分 积分区域 D 可以表示为：0x1，x 2yx，因此21 【正确答案】 【试题解析】 本
11、题考查的知识点为不定积分的换元积分运算22 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为参数方程形式的函数的求导 只需依公式，先分别求出 即可23 【正确答案】 24 【正确答案】 特征方程为 r2-2r-8=0 特征根为 r1=-2,r2=4 方程的通解为 25 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为将函数展开为 x 的幂级数将函数展开为 x 的幂级数通常利用间接法先将 f(x)与标准展开式中的函数对照，以便确定使用相应的公式如果 f(x)可以经过恒等变形变为标准展开式中函数的和、差形式，则可以先变形26 【正确答案】 相应的齐次微分方程为 y“-y-2y=0 其特征方程为 r 2
12、-r-2=0 其特征根为 r1=-1，r2=2 齐次方程的通解为 Y=C1e -x+C2e2x 由于 f(x)=3ex，1 不是其特征根，设非齐次方程的特解为 y*=Aex 代入原方程可得 原方程的通解为 【试题解析】 本题考查的知识点为求解二阶线性常系数非齐次微分方程由二阶线性常系数非齐次微分方程解的结构定理可知，其通解 y=相应齐次方程的通解 Y+非齐次方程的一个特解 y*其中 Y 可以通过求解特征方程得特征根而求出而 yq*可以利用待定系数法求解27 【正确答案】 设 ，则 f(x)=x 3+3Ax 将上式两端在0，1上积分，得 因此 【试题解析】 本题考查的知识点为两个：定积分表示一个确定的数值；计算定积分 由于定积分 存在，因此它表示一个确定的数值，设，则 f(x)=x 3+3Ax 这是解题的关键 !为了能求出 A，可考虑将左端也转化为 A 的表达式，为此将上式两端在0，1上取定积分，可得 得出 A 的方程，可解出 A，从而求得 f(x) 本题是考生感到困难的题目，普遍感到无从下手，这是因为不会利用“定积分表示一个数值”的性质 这种解题思路可以推广到极限、二重积分等问题中28 【正确答案】 由题设可得知【试题解析】 本题考查的知识点为两个：原函数的概念和分部积分法
