1、专升本（高等数学一）模拟试卷 30 及答案与解析一、选择题1 当 a0 时， 2x2+3x 是 x 的( )（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小，但不是等价无穷小（D）低阶无穷小2 设函数 f(x)在区间(0，1)内可导，f(x) 0，则在(0，1)内 f(x)( )（A）单调增加（B）单调减少（C）为常量（D）既非单调，也非常量3 设 f(x0)=1,则 等于( )（A）3（B） 2（C） 1（D）1/24 若f(x)dx=F(x)+C，则f(2x)dx 等于( ) （A）2F(2x)+C（B） F(2x)+C（C） F(x)+C（D）F(2x)/2+C5 设函数 Y=e-x，则
2、 Y等于( )（A）-e x（B） ex（C） -e-xQ258（D）e -x6 设 Y=x2-2x+a，贝 0 点 x=1( )（A）为 y 的极大值点（B）为 y 的极小值点（C）不为 y 的极值点（D）是否为 y 的极值点与 a 有关7 设函数 z=sin(xy2)，则 等于( )（A）cos(xy 2)（B） xy2cos(xy2)（C） 2xyeos(xy2)（D）y 2cos(xy2)8 二次积分 等于( )9 若 ，则下列命题中正确的有( )10 设 y1，y2 为二阶线性常系数微分方程 y“+p1y+p2y=0 的两个特解，则C1y1+C2y2( )（A）为所给方程的解，但不是
3、通解（B）为所给方程的解，但不一定是通解（C）为所给方程的通解（D）不为所给方程的解二、填空题11 12 设 ，则 y=_13 设 ，则 f(x)=_14 15 16 设 y=sin2x，则 y_17 设 x=f(x， y)在点 p0(x0，y0)可微分，且 p0(x0， y0)为 z 的极大值点，则_18 二元函数 z=x2+3xy+y2+2x，则 =_19 微分方程 y“-y-2y=0 的通解为_20 交换二重积分次序 =_21 设 y=3x+lnx，求 y22 计算23 求 z=x2+y2 在条件 x+y=1 下的条件极值24 求 y“-2y+y=0 的通解25 计算26 求sinxdx
4、27 计算 其中 D 是由 y=x,x=0，y=1 围成的平面区域28 求由曲线 y=x，y=lnx 及 y=0，y=1 围成的平面图形的面积 S 及此平面图形绕 y轴旋转一周所得旋转体体积专升本（高等数学一）模拟试卷 30 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为无穷小阶的比较 应依定义考察 由此可知，当 x0 时，2x 3+3x 是 x 的同阶无穷小，但不是等价无穷小，故知应选 C 本题应明确的是：考察当 xx0时无穷小卢与无穷小 的阶的关系时，要判定极限 这里是以 为“基本量”，考生要特别注意此点，才能避免错误 2 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的
5、知识点为利用导数符号判定函数的单调性由于 f(x)在(0，1)内有 f(x)0，可知 f(x)在(0，1) 内单调增加，故应选 A3 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为导数的定义 由题设知 f(x0)=1，又由题设条件知 可知应选 B4 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为不定积分的第一换元积分法(凑微分法) 由题设知f(x)dx=F(x)+C，因此 可知应选 D5 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为复合函数导数的运算 由复合函数的导数链式法则知 可知应选 C6 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为一元函数的极值 求解的一般步骤为：先求出函数
6、的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点 由于 y=x2-2x+a，可由 y=2x-2=0， 解得 y 有唯一驻点x=1又由于 y“=2，可得知 y“|x=1=20 由极值的充分条件可知 x=1 为 y 的极小值点，故应选 B 如果利用配方法，可得 y=(x-1)2+a-1a-1，且 y|x=1=a-1，由极值的定义可知 x=1 为 y 的极小值点，因此选 B7 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为偏导数的运算 由 z=sin(xy2)，知 可知应选 D8 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的知识点为交换二次积分的积分次序 由所给二
7、次积分限可知积分区域 D 的不等式表达式为： 0x1， 0y1-x ， 其图形如图 1-1 所示 交换积分次序，D 可以表示为 0y1 ， 0x1-y， 因此 可知应选 A9 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为级数收敛性的定义 10 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构已知 y1，y2 为二阶线性常系数齐次微分方程 y“+p1y+p2y=0 的两个解，由解的结构定理可知 C1y1+C2y2 为所给方程的解，因此应排除 D又由解的结构定理可知，当 y1，y2 线性无关时，C1y1+C2y2 为 y“+p1y+p2y=0 的通解，因此应该选B本题
8、中常见的错误是选 C这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误解的结构定理中指出：“若 y1，y2 为二阶线性常系数微分方程 y“+p1y+p2y=0 的两个线性无关的特解，则 C1y1+C2y2 为所给微分方程的通解，其中 C1，C2 为任意常数”由于所给命题中没有指出)y1，y2 为线性无关的特解，可知 C1y1+C2y2 不一定为方程的通解但是由解的结构定理知 C1y1+C2y2 为方程的解，因此应选 B二、填空题11 【正确答案】 1/2【试题解析】 本题考查的知识点为极限的运算12 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为导数的运算13 【正确答案】 【试
9、题解析】 本题考查的知识点为复合函数导数的运算14 【正确答案】 1【试题解析】 本题考查的知识点为定积分的换元积分法15 【正确答案】 f(sinx)+C【试题解析】 本题考查的知识点为不定积分的换元积分法16 【正确答案】 2sinxcosx【试题解析】 本题考查的知识点为复合函数导数运算17 【正确答案】 0【试题解析】 本题考查的知识点为二元函数极值的必要条件 由于 z=f(x，y)在点P0(x0，y0)可微分，P(x0，y0)为 z 的极值点，由极值的必要条件可知18 【正确答案】 2x+3y+2【试题解析】 本题考查的知识点为二元函数的偏导数运算 则19 【正确答案】 y=C1e
10、-x+C2e2x【试题解析】 本题考查的知识点为二阶线性常系数微分方程的求解 特征方程为 r2-r-2=0， 特征根为 r1=-1，r2=2， 微分方程的通解为 y=C1e -x+C2ex20 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为交换二重积分次序 积分区域D：0x1，x 2yx 积分区域 D 也可以表示为 0y1，yx ，因此21 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为导数运算22 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为不定积分的运算 需指出，由于不是标准公式的形式，可以利用凑微分法求解23 【正确答案】 构造拉格朗日函数 可解得唯一组解 x=1/2,y=1/2. 所
11、给问题可以解释为在直线 x+y=1 上求到原点的距离平方最大或最小的点由于实际上只能存在距离平方的最小值，不存在最大值，因此(1/2,1/2)为所给问题的极小值点极小值为 【试题解析】 本题考查的知识点为二元函数的条件极值通常的求解方法是引入拉格朗日函数，当求出可能极值点之后，往往利用所给问题的实际意义或几何意义判定其是否为极值点24 【正确答案】 特征方程为 r 2-2r+1=0 特征根为 r=1(二重根) 方程的通解为 y=(c1+c2x)ex【试题解析】 本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程解的结构25 【正确答案】 令 u=lnx，v=1 ，则【试题解析】 本题考查的知识点为定积分的分部积分法26 【正确答案】 设 u=x，v=sinx，则 u=1，v=-cosx，27 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为二重积分运算和选择二次积分次序 由于不能用初等函数形式表示，因此不能先对 y 积分，只能选取先对 x 积分后对 y 积分的次序 通常 都不能由初等函数形式表示，即不可积分，考生应该记住这两个常见的形式28 【正确答案】 所给曲线围成的图形如图 8-1 所示
