1、专升本（高等数学一）模拟试卷 49 及答案与解析一、选择题1 =( )（A）e（B） e-1（C） -e-1（D）-e2 函数 f(x)在 x=x0 处连续是 f(x)在 x=x0 处极限存在的( )（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件3 sin2xdx=( )（A）-sin 2x+C（B）（C）（D）4 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( )（A）f(x)= ，x -2，0（B） f(x)=(x-4)2，x-2 ， 4（C） f(x)=sinx，（D）f(x)=|x| ，x -1，15 当 x0 时，sinx 是 sinx 的等价无穷小
2、量，则 k=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 微分方程 =0 的通解为( )（A）2(x 3-y2)+3(x2-y3)=C（B） 2(x3-y3)+3(y2-x2)=C（C） 2(x3-y3)+3(x2-y3)=C（D）3(x 2-y2)+2(x2-y2)=C7 平面 1：x-2y+3x+1=0， 2：2x+y+2=0 的位置关系为( )（A）垂直（B）斜交（C）平行不重合（D）重合8 设函数 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）可导（B）连续但不可导（C）不连续（D）无定义9 设 是正项级数，且 un n(n=1，2 ，)，则下列命题正确的是( )10 设 D=(x
3、， y)|x2+y2a2，a0,y0)，在极坐标下二重积分(x 2+y2)dxdy 可以表示为( )（A） 0d0ar2dr（B） 0d0ar3dr（C）（D）二、填空题11 函数 f(x)= 在1，2上符合拉格朗日中值定理的 =_。12 设 y=(1+x2)arctanx，则 y=_。13 设 f(x)在 x=1 处连续， =2，则 =_。14 极限 =_。15 (x2-1)dx=_。16 sint2dt=_。17 设 z=x3y2，则 =_。18 设区域 D：x 2+y2a2(a0)，y0，则 x2dxdy 化为极坐标系下的二重积分的表达式为_。19 设 y=f(x)在点 x0 处可导，且
4、在点 x0 处取得极小值，则曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为_。20 幂级数 的收敛半径为_。21 证明：抛物线 上任一点处切线所截两坐标轴的截距之和等于 a。22 已知平面过两点 M(3，-2，5)和 N(2，3，1) 且平行于 z 轴，求此平面的方程。23 计算 1exlnxdx。24 求函数 f(x，y)=e 2x(x+y2+2y)的极值。25 判断级数 (a0，ae)的敛散性。26 计算 ，其中 D 如图所示，由 y=x，y=1 与 y 轴围成。27 证明方程 3x-1-=0 在区间 (0，1)内有唯一的实根。28 设 f(x)=x3+1-x0xf(t)dt+
5、0xtf(t)dt，其中 f(x)为连续函数，求 f(x)。专升本（高等数学一）模拟试卷 49 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 =e-1。故选 B.2 【正确答案】 A【试题解析】 函数 f(x)在 x=x0 处连续，则 f(x)在 x=x0 处极限存在但反过来却不行，如函数 f(x)= 故选 A。3 【正确答案】 B【试题解析】 故选 B。4 【正确答案】 C【试题解析】 罗尔定理条件主要检查三条，A 中 f(x)= 在 x=0 处无定义；B 中f(x)=(x-4)2， f(-2)=36f(4)=0；C 中 f(x)=sinx 在 上连续，在 内可导且 =1；D
6、中 f(x)=|x|在-1 ，1上不可导，故选 C。5 【正确答案】 B【试题解析】 由等价无穷小量的概念，可知 =1，从而 k=1，故选 B。也可以利用等价无穷小量的另一种表述形式，由于当 x0 时，有 sinxx，由题设知当 x0 时，kx sinx，从而 kxx，可知 k=1。6 【正确答案】 C【试题解析】 对原式变形得(x+x 2)dx-(y+y2)dy=0，移项得 (x+x2)dx=(y+y2)dy。对等式两边积分可得 +C1，从而可得 2(x3-y3)+3(x2-y2)=C。7 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的知识点为两平面的位置关系。两平面的关系可由平面的法向量 n1，
7、n 2 间的关系确定。若 n1n2，则两平面必定垂直。若 n1/n2，则两平面平行，其中当 时，两平面平行，但不重合。当时，两平面重合。若 n1 与 n2 既不垂直，也不平行，则两平面斜交。由于 n1=1，-2，3，n 2=2，1，0)，n 1，n 2=0，可知，n 1n2，因此12，故选 A。8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)=故选 A。9 【正确答案】 B【试题解析】 由正项级数的比较判别法可以得到，若小的级数 发散，则大的级数 必发散，故选 B。10 【正确答案】 B【试题解析】 因为 D：x 2+y2a2，a0，y0，令 则有r2a2， 0ra，0，所以 (x2+y2)d
8、xdy=0d0ar2.rdr=0d0ar3.rdr 故选 B。二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 由拉格朗日中值定理有 =f()，解得 2=2，= 其中。12 【正确答案】 1+2xarctanx【试题解析】 因为 y=(1+x2)arctanx，所以 y=2xarctanx+(1+x2)。=2xarctanx+1。13 【正确答案】 2【试题解析】 由连续函数的充要条件知 f(x)在 x0 处连续，则。14 【正确答案】 0【试题解析】 因为所求极限中的 x 的变化趋势是趋近于无穷，因此它不是重要极限的形式，由于 =0，即当 x时， 为无穷小量，而 cosx-1 为有界函数，利用无穷
9、小量性质知15 【正确答案】 【试题解析】 16 【正确答案】 2xsinx 4【试题解析】 17 【正确答案】 12dx+4dy【试题解析】 由 z=x3y2，得 =2x3y，故 dz=3x2y2dx+2x3ydy，。18 【正确答案】 0d0ar3cos2dr【试题解析】 因为 D：x 2+y2a2(a0)，y0，所以令 且0ra，00，则 =0d0acos2.rdr=0d0ar3cos2dr。19 【正确答案】 y=f(x 0)【试题解析】 y=f(x) 在点 x0 处可导，且 y=f(x)有极小值 f(x0)，这意味着 x0 为 f(x)的极小值点。由极值的必要条件可知，必有 f(x0
10、)=0，因此曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为 y-f(x0)=f(x0)(x-x0)=0，即 y=f(x0)为所求切线方程。20 【正确答案】 【试题解析】 因为级数为 ，所以用比值判别法有当1 时收敛，即 x22。收敛区间为 ，故收敛半径 R= 。21 【正确答案】 设(x 0，y 0)为曲线上任意一点，于是有 先求曲线上点(x 0，y 0)处的切线斜率，由隐函数求导法，得 所以 y=，故点(x 0，y 0)处曲线的切线斜率为 得到点(x 0，y 0)处切线方程为 令 x=0，得切线在 y 轴上的截距为令 y=0，得切线在 x 轴上的截距为 所以x+y=x0【试题解
11、析】 对隐函数 ，则抛物线切线的斜率为 在抛物线上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为 y-y0=(x-x0)，令 x=0，则在 y 轴上的截距为 y=y0+ ；令 y=0，在 x 轴上的截距为 x=x0+ 将 x+y 整理后即得所求。22 【正确答案】 因为平面平行于 z 轴，故设所求平面方程为 Ax+By+D=0，又过两点 M，N，将其坐标分别代入方程得故得 5x+y-13=0。【试题解析】 解本题的关键是要抓住题中的两个条件。其一，此平面平行于 z 轴，因而此平面方程为 Ax+By+D=0；其二，平面过两个点，那么这两个点代入 A 方程后应使等式成立。23 【正确答案】 【试题解析】
12、 本题考查定积分的计算，可利用分部积分法。24 【正确答案】 解方程组f“xx=2e，f“ xy=0，f“yy=2e，故 A=2e，B=0 ， C=2e，从而 B2-AC=-4e20，A=2e0，所以为极小值点， 为函数的极小值。【试题解析】 这是二元函数极值问题。先求方程组 的一切实数解，得到所有驻点，再逐个代入 f“xx(x，y) ，f“ xy(x，y)，f“ yy(x，y)中，求出 A，B，C的值，然后确定 B2-AC 的符号，由极值充分条件判定其是否为极值点即可。25 【正确答案】 故有当1，即 ae 时，该级数收敛；当 1，即 ae 时，该级数发散。【试题解析】 这是个正项级数，用正
13、项级数比值判定法判定即可。26 【正确答案】 【试题解析】 计算二重积分的基本思想是将其化为二次积分。所给二重积分被积函数 xy 关于 x，y 对称，积分区域也较简单。可以将二重积分转化为：先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分。也可以转化为：先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分。27 【正确答案】 令 f(x)=3x-1- 。则 f(x)在区间0，1上连续。由于=1，所以 f(1)=2- 0。又 f(0)=-10，根据连续函数的介值定理，函数 f(x)在区间(0 ，1)内至少有一个零点，即所给方程在 (0，1) 内至少有一个实根。又 f(x)=3- ，当 0x1 时，f(x)0。因此，
14、f(x)在0，1上单调增加，由此知 f(x)在区间(0 ，1)内至多有一个零点。综上可知，方程 3x-1-=0 在区间(0，1)内有唯一的实根。【试题解析】 首先设 f(x)=3x-1- ，然后验证 f(x)在0，1上满足介值定理条件。由介值定理得到 f(x 在区间(0，1) 内至少有一个零点(实根)，并且根据f(x)=3- 0(0x 1)说明 f(x)是单调增函数，从而得到 f(x)在(0，1)内至多有一个零点。由此得到方程 3x-1- =0 在(0，1)内有唯一的实根。28 【正确答案】 将所给表达式两端关于 x 求导，得 f(x)=3x 2-0xf(t)dt-xf(x)+xf(x)=3x
15、2-0xf(t)dt， 两端关于 x 再次求导，得 f“(x)=6x-f(x) 即 f“(x)+f(x)=6x。 将此方程认作为二阶常系数非齐次线性微分方程，相应的齐次微分方程的特征方程为 r2+1=0。 特征根为 r1=i，r 2=-i。 齐次方程的通解为 C1cosx+C2sinx。 设非齐次方程的一个特解为 f0(x)。由于 =0 不为特征根，可设 f0(x)=Ax，将 f0(x)代入上述非齐次微分方程可得 A=6因此 f0(x)=6x。非齐次方程的通解为 f(x)=C 1cosx+C2sinx+6x 由初始条件 f(0)=1，f(0)=0，可得出 C 1=1，C 2=-6。 故 f(x)=cosx-6sinx+6x 为所求函数。【试题解析】 首先，对所给函数等式两边关于 z 求二阶导数，就可得到一个二阶常系数非齐次线性微分方程，即 f“(x)+f(x)=6x。然后，求出这个微分方程的通解，再代入 f(0)=1，f(0)=0 ，即可求出 f(x)的表达式。
