1、专升本（高等数学一）模拟试卷 54 及答案与解析一、选择题1 极限 =( )（A）0（B）（C） 1（D）22 下列关系式正确的是( )（A）df(x)dx=f(x)+C（B） f(x)dx=f(x)（C）（D）3 =( )（A）-2（B） -1（C） 0（D）14 方程 z=x2+y2 表示的二次曲面是( )（A）椭球面（B）柱面（C）圆锥面（D）抛物面5 若 D 为 x2+y21 所确定的区域，则 =( )（A）2（B） （C） 4（D）86 已知导函数 y=ktan2x 的一个原函数为 ，则 k=( )7 级数 (a0 为常数)( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与
2、a 有关8 设 f(x0)=1，则 =( )（A）2（B） 1（C）（D）09 函数 y=f(x)在(a ，b) 内二阶可导，且 f(x)0，f“(x)0，则曲线 y=f(x)在(a，b)内( )（A）单调增加且上凹（B）单调增加且下凹（C）单调减少且上凹（D）单调减少且下凹10 设 f(x)为连续函数，则 =( )（A）f(b)-f(a)（B） f(b)（C） -f(a)（D）0二、填空题11 设 f(x)在 x=1 处连续，且 =2，则 f(1)=_。12 设 f(x)= 且 f(x)在点 x=0 处连续，则 a=_。13 =_。14 函数 y=x2-2x 在区间1，2上满足拉格朗日中值定
3、理条件的 =_。15 若 -0ekxdx= ，则 k=_。16 已知 f(x)的一个原函数为 ，则xf(x)dx=_。17 曲线 y= 的铅直渐近线为_。18 空间直角坐标系中方程 y=x2 表示的曲线是_。19 函数 f(x， y)=4(x-y)-x2-y2 的极大值点是_。20 若级数 收敛于 s，则 收敛于_ 。21 计算22 试证：当 x0 时，有不等式 xsinxx- 。23 已知直线 ，平面 ： -nx+2y-z+4=0，试确定 m，n 的值，使得直线 L 在平面 上。24 已知 f()=1，且 0f(x)+f“(x)sinxdx=3，求 f(0)。25 设 f(x，y)=cos(
4、x 2y)，求26 已知直线 ，若平面 过点 M(-2，9，5)且与 l 垂直，求平面 的方程。27 设 y= ，判定该函数的极值、单调性以及该曲线的凹向与拐点。28 求 y“-2y-3y=ex 的通解。专升本（高等数学一）模拟试卷 54 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 注意所给极限为 x，它不是重要极限的形式，由于即当 x时， 为无穷小量，而 sin2x 为有界函数，利用无穷小量性质可知 故选 A。2 【正确答案】 C【试题解析】 A，df(x)dx=f(x)dx；B,f(x)dx=f(x)+C；C ，f(x)dx=(f(x)dx)=f(x)，则选 C，由 C 知 D
5、不正确。3 【正确答案】 C【试题解析】 因为被积函数 是奇函数，所以在对称区间内=0。4 【正确答案】 D【试题解析】 要熟记主要的几个二次曲面的方程表达式，根据旋转抛物面的方程知本题应选 D。5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 D：x 2+y21，所以此圆的面积 SD=12=，所以=SD=，故选 B。6 【正确答案】 D【试题解析】 由题意 所以有ktan2x= tan2x，则 k= ，故选 D。7 【正确答案】 A【试题解析】 因为原级数为 ，且级数 为 p= 1 的 p 级数，收敛。所以级数 收敛。因此原级数绝对收敛，故选 A。8 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x0)=1
6、可知应考虑将 化为导数定义的等价形式， =2f(x0)=2，故选 A。9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)0，所以函数 f(x)在区间(a，b)内是单调增加的，又f“(x)0，所以函数 f(x)是下凹的，即曲线 f(x)在(a，b) 内是单调增加且下凹，故选B。10 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(x)为连续函数，可知 abf(x)dx 存在，它表示一个确定的常数值，因此 f(x)dx=0，故选 D。二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 由题设条件，有 =f(1)，则 f(1)=2。12 【正确答案】 0【试题解析】 本题考查的知识点为函数连续性的判定。由于点 x=
7、0 为函数的分段点，且在点 x=0 两侧 f(x)的表达式不同，因此应考查左连续、右连续。由于 f(x)在点 x=0 连续，因此 =f(0)，从而 a=0。13 【正确答案】 e -1【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 因为 y=x2-2x 在1，2上满足拉格朗日中值定理的条件，15 【正确答案】 3【试题解析】 因为16 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)的个原函数为 ，所以xf(x)drx=xd(x)=xf(x)-f(x)dx17 【正确答案】 x=-2【试题解析】 由于题目只求铅直渐近线，所给函数表达式为分式，可知因此所给曲线的铅直渐近线为 x=-2。18 【正确答案
8、】 母线平行于 z 轴的抛物柱面【试题解析】 本题考查二次曲面方程的识别。19 【正确答案】 (2，-2)【试题解析】 20 【正确答案】 s-u 1【试题解析】 因为 收敛于 s-u1。21 【正确答案】 令 t= ，则 x=t2，dx=2tdt。当 x=1 时，t=1 ；当 x=4 时，t=2。=212et=2et|12=2(e2-e)。【试题解析】 本题考查定积分的计算，可以利用换元积分法或凑微分法进行计算，注意换元时要将积分上、下限也随之变换。22 【正确答案】 先证 xsinx(x0)。设 f(x)=x-sinx，则 f(x)=1-cosx0(x0)，所以 f(x)为单调递增函数，于
9、是对 x0 有 f(x)f(0)=0，即 x-sinx0，亦即xsinx(x0)。再证 sinxx- (x0)。令 g(x)=sinx-x+ 则 g(x)=cosx-1+x，g“(x)=-sinx+10，所以 g(x)单调递增，又 g(0)=0，可知 g(x)g(0)=0(x0)，那么有g(x)单调递增。又 g(0)=0，可知 g(x)g(0)=0(x0)，综上可得：当 x0 时，xsinx x- 。【试题解析】 可将不等式分成两部分来证，即 xsinx，sinx x- ，分别设 f(x)=x-sinx 和 g(x)=sinx-x+ ，然后再分别求导数，利用单调性思想即可证出。23 【正确答案
10、】 要使直线 L 在平面 上，只要直线 L 平行于平面 ，且有一点在平面 上即可。直线 L 的方向向量为 s=2，-1，m)，平面 的法线向量为，1=-n，2，-1)，由直线平行于平面 得 s.n=0，即-2n-2-m=0 又点 P(1，-2，-1) 为直线 L 上的点，把此点的坐标代人平面 的方程得-n-4+1+4=0 联立，解得【试题解析】 此题的关键是抓住直线 L 在平面 上，即意味着满足两个条件：其一，直线 L 与平面 平行；其二，直线 L 上的点也满足平面 的方程。这样即可由下面方法求得 m，n 的值。24 【正确答案】 因为 0f(x)+f(x)sinxdx=0f(x)sinxdx
11、+0f“(x)sinxdx，而 0f“(x)sinxdx=0sinxdf(x) =sinx.f(x)|0-0f(x)cosxdx =-0cosxdf(x) =-f(x)cosx|0-0f(x)sinxdx =f()+f(0)-0f(x)sinxdx， 所以 0f(x)+f“(x)sinxdx=f()+f(0)=3。 又 f()=1，所以f(0)=2。【试题解析】 由于 0f(x)+f“(x)sinxdx=0f(x)sinxdx+0f“(x)sinxdx，对 0f“(x)sinxdx 采用凑微分和分部积分后与 0f(x)sinxdx 相加，代入条件即可求出 f(0)。25 【正确答案】 【试题解
12、析】 在做此题时要注意，对谁求偏导数只需把谁看成变量，其他都看成常数，用一元函数求导的方法求导即可。26 【正确答案】 由题意可知，直线 l 的方向向量 s=3，4，-7 必定平行于所求平面 的法向量 n，因此可取n=s=3，4，-7 。利用平面的点法式方程可知3x-(-2)+4(y-9)-7(z-5)=0，即 3(x+2)+4(y-9)-7(z-5)=0为所求平面方程。或写为一般式方程：3x+4y-7z+5=0。【试题解析】 由直线的方向向量可以确定平面的法向量，进而求出平面的点法式方程。27 【正确答案】 所给函数的定义域为(-，+) ，令 y=0，得驻点 x1=-2，x 2=0当 x=-
13、1时，y不存在。 在 x=-1 处 y“不存在，当 x-1 时，y“0。列表分析由上表可知，函数 y 的单调递减区间为(-，-2)，(-1，0)；单调递增区间为(-2，-1) ，(0，+) 。x=-2 与 x=0 为其两个极小值点，极小值 f(-2)=0，f(0)=0；x=-1 为其极大值点，极大值 f(-1)=1。曲线在(-，+)上都是上凹的，没有拐点。【试题解析】 本题考查利用函数的一阶导数 y，二阶导数 y“的符号来判定函数的单调性、极值、凹凸性和拐点。28 【正确答案】 (1)先求出其相应的齐次方程通解 Y=C1y1+C2y2；(2)再求出它的一个特解 y*；(3)y=C 1y1+C2y2+y*即为所求方程的通解。其对应的齐次方程的特征方程为 r2-2r-3=0，特征根为 r1=-1，r 2=3，相应齐次方程的通解为 Y=C1e-x+C2e3x。设方程的特解为 y*=Aex，代入 y“-2y-3y=ex，得 A= ，原方程的特解 y*=原方程的通解为 y=C1e-r+C2e3x- (其中 C1，C 2 为任意常数)。【试题解析】 本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解。
