1、专升本（高等数学一）模拟试卷 55 及答案与解析一、选择题1 设 f(x)=arctanx，则 =( )（A）1（B） -1（C）（D）2 下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是( )（A）（B） f(x)=xe-x，0，1（C）（D）f(x)=|x| ，0，13 设f(x)dx= =( )（A）arctanx+C（B） arccotx+C（C）（D）4 设 z=ln(x2+y)，则 =( )5 已知 f(cosx)=sinx，则 f(cosx)=( )（A）-cosx+C（B） cosx+C（C）（D）6 =( )（A）-1（B）（C）（D）17 往空间直角坐标系中，表示网柱面的方程是(
2、)（A）x 2+y2-z2=0（B） x2+y2=4（C） x=y2（D）x 2+y2+z2=18 设区域 D：(x，y)|x 2+y21，x0，y0)，则在极坐标系下，二重积分可表示为( )（A） 0d01erdr（B） 0d01errdr（C）（D）9 下列级数中，条件收敛的级数是( )10 微分方程 y“+2y+y=0 的通解为( )（A）y=(C 1+C2x)ex（B） y=(C1+C2x)e-x（C） y=(C1+C2)e-x（D）y=(C 1+C2)ex二、填空题11 设 z=x2+y，则 =_。12 设 y=2x.x2+sin2，则 y=_。13 01e-xdx=_。14 函数
3、y=x3-2x+1 在区间1，2上的最小值为_。15 设 ，且 k 为常数，则 k=_。16 微分方程 y“+2y=0 的通解为 _。17 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 k=_。18 设 z= ，则 dz=_。19 级数 的收敛区间为_。20 过点(1 ，-1，0)与直线 垂直的平面方程为_。21 当 x时，f(x)与 为等价无穷小量，求 。22 设 y= ，求 y“。23 设 f(cos2x)=sin2x，且 f(0)=0，求 f(x)。24 欲围一个面积为 150 平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米 6元，其余三面是每平方米 3 元，问场地的两边各为多少米时，才能使
4、所用材料费最少?25 已知 f(x)连续，证明 0xf(t)(x-t)dt=0x0tf(u)dudt。26 计算二重积分 ydxdy，其中 D 为曲线 x=y2+1，直线 x=0，y=0，y=1 所围成的区域。27 求椭圆 =1 所围成图形的面积 A。28 求微分方程 xy+y=ex 满足初始条件 y|x=1=e 的特解。专升本（高等数学一）模拟试卷 55 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)=(arctanx)= ，再由导数定义知，故选 C。2 【正确答案】 A【试题解析】 注意罗尔定理有三个条件：(1)f(x)在a，b 上连续；(2)f(x)在(a，b)内可
5、导；(3)f(a)=f(b) 。逐一检查三个条件即可。为了简便起见先检查 f(a)=f(b)。故选 A。3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 求 时，将 y 认定为常量，则 ，故选 B。5 【正确答案】 C【试题解析】 已知 f(cosx)=sinx，在此式两侧对 cosx 求积分，得f(cosx)d(cosx)=sinxd(cosx)，故选 C。6 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查定积分的运算。 故选 C。7 【正确答案】 B【试题解析】 方程 F(x， y)=0 表示母线平行于 Oz 轴的柱面，称之为柱面方程。方程 x2+y2-a2=0 表示母线平行 O
6、z 轴的圆柱面方程，同理，F(y，z)=0 及 F(x，z)=0都表示柱面，它们的母线分别平行于 Ox 轴及 Oy 轴，故选 B。8 【正确答案】 C【试题解析】 因为区域 D：x 2+y21，x0，y0，令 有 0r1，0故选 C。9 【正确答案】 C【试题解析】 10 【正确答案】 B【试题解析】 微分方程的特征方程为 r2+2r+1=0，解得 r=-1，为二重根，由通解公式可知其通解为 y=(C1+C2x)e-x。故选 B。二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 由于 z=x2+y，求 时，只需将 x 认定为常量，因此将 x2 对 y 求偏导数得 0，故 =1。12 【正确答案】
7、2 xx2ln2+2x+1x【试题解析】 已知 y=2x.x2+sin2，则 y=2xln2.x2+2x.2x=2xln2+2x+1x。13 【正确答案】 1-e -1【试题解析】 利用凑微分法。 01e-xdx=-01e-xd(-x)=-e-x|01=1-e-1。14 【正确答案】 0【试题解析】 y=3x 2-2，令其为 0，得驻点 x=x=2 代入 y=x3-2x+1，得当 x=1 时，y 值最小，最小值为 0。15 【正确答案】 【试题解析】 16 【正确答案】 y=C 1+C2e-2x【试题解析】 二阶齐次方程 y“+2y=0，特征方程为 r2+2r=0，解得 r1=0，r 2=-2
8、，所以其通解 y=C1e0+C2e-2x=C1+C2e-2x。17 【正确答案】 1【试题解析】 由连续的三要素及 f(0-0)=1=f(0+0)=f(0)，得 k=1。18 【正确答案】 【试题解析】 因为19 【正确答案】 (-，+)【试题解析】 因为=0，所以R=，即收敛区间为(-，+)。20 【正确答案】 x-2y+3z-3=0 或(x-1)-2(y+1)+3z=0【试题解析】 直线垂直于平面 ， 的法向量即为直线的方向向量，即n=s=1，-2 ，3 ，且点(1，-1，0)在平面 上，(x-1)-2(y+1)+3z=0。21 【正确答案】 由于当 x时，f(x)与 为等价无穷小量，因此
9、【试题解析】 此极限是“.0”型，可用四则运算将其化成 ，再用等价无穷小量替换22 【正确答案】 【试题解析】 本题考查如何求函数的二阶导数。23 【正确答案】 因为 f(cos2x)=sin2x=1-cos2x，所以 f(x)=1-x，f(x)=f(x)dx=(1-x)dx=x- +C。又因为 f(0)=0，所以 C=0，f(x)=x-【试题解析】 先根据 f(cos2x)=sin2x=1-cos2x 可得 f(x)=1-x，然后再积分就可得到f(x)。24 【正确答案】 设所围场地正面长为 x，另一边为 y，则 xy=150，从而 y= ，设四面围墙高度相同，都是 h，则四面围墙所使用的材
10、料总费用为 f(x)=6xh+3(2yh)+3xh=9xh+6h. 则 f(x)= 令 f(x)=0，得驻点x1=10， x2=-10(舍去)。 f“(10)=1 8h0。由于驻点唯一，由实际意义可知最小值存在，因此可知当正面长为 10 米，侧面长为 15 米时所用材料费最少。【试题解析】 先用其四个面的面积乘以相应的单位面积的造价，求和写出总费用函数 f(x)，然后用一元函数 y=f(x)求最值法，即可得解。25 【正确答案】 右边= 000tf(u)dudt=t0tf(u)du|0x-0xtf(t)dt=x0xf(u)du-0xtf(t)dt =x0xf(t)dt-0xtf(t)dt=0x
11、xf(t)dt-0xtf(t)dt =0x(x-t)f(t)dt=左边。【试题解析】 本题考查分部积分公式。只需要将右侧被积函数整体 0tf(u)du 看成F(t)，然后分部积分整理后就可等于左侧。26 【正确答案】 作出积分区域 D 的草图，如图所示， 则积分区域可以用不等式 0xy2+1，0y1 表示，故。【试题解析】 解二重积分最好先根据题中所给的区域 D 画出草图，以便容易定出积分上、下限，注意此题只能先对 x 积分。27 【正确答案】 椭圆关于两坐标轴都对称，所以椭圆所围成的图形面积 A=4A1，其中 A1 为该椭圆在第一象限的曲线与两坐标轴所围成图形面积，所以A=4A1=40aydx 将 y 在第一象限的表达式 y= 代入上式，可得令 x=acost，则 dx=-sintdt，且当 x=0 时，t= ；当 x=a时，t=0 ，则 所以 A=4A1=4。【试题解析】 因为椭圆的面积 A 被坐标平分为四等分，所以只需求出在第一象限所围的面积 A1 再乘以 4 即可，即 A-4A1=40aydx。28 【正确答案】 所给方程为一阶线性微分方程，将其化为标准方程【试题解析】 将方程化为标准形式，先求出微分方程的通解，再利用初始条件求出特解。
