1、专升本（高等数学一）模拟试卷 61 及答案与解析一、选择题1 ( )（A）1（B） 2（C）一 1（D）一 22 若 x0 为 f(x)的极值点，则 ( )（A）f(x 0)必定存在，且 f(x0)0（B） f(x0)必定不存在（C） f(x0)可能不存在（D）f(x 0)必定存在，但 f(x0)不一定等于零3 设 f(x)一 arctan x，则 ( )（A）（B）（C）一 1（D）14 设 ycos x，则 y ( )（A）一 sin x（B） sin x（C）一 cos x（D）cos x5 设 zln(x 2y 2)，则 ( )（A）dxdy（B） (dxdy)（C） (dxdy)（D
2、）dx dy6 2e2xdx ( )（A）e 2xC（B） 2e2xC（C）一 e2xC（D）一 2e2xC7 若级数 un 收敛，则下列级数不收敛的是 ( )（A） 3un（B） (un3)（C） 3 un（D） un8 函数 yx 的单调递增区间为 ( )（A）(一，一 3)和(3，)（B） (一 3，3)（C） (3，0)和(0 ，3)（D）(一， 0)和(0，)9 设 zcos(x 2y)，则 ( )（A）一 sin(x2y)（B） x2sin(x2y)（C） sin(x2y)（D）一 x2sin(x2y)10 方程(1 一 x2)yxy0 的通解是 ( )（A）y一 x3C（B） y
3、C（C） yC.x（D）y二、填空题11 _12 函数 yx 66x5 在区间1，5上的最小值是_13 若 f(x) 在 x0 处连续，则 a_14 x1dx_15 x ，y2t 3，则 _16 已知平面 ：3xy 一 3z20，则过原点且与 垂直的直线方程为_17 级数 的收敛区间为_18 设区域 D 为 x2y 21 所围成的区域，则 (1 一 x2 一 y2)dxdy_19 微分方程 y一 3y0 的特征方程是_20 设二元函数 zarcsin(xy)，则 _三、解答题21 计算 22 若函数 f(x) 在 x0 处连续，求 A23 设 yy(x) 是由方程 3yx(xy)ln(x y)
4、确定的隐函数，求 dy24 计算不定积分 25 求函数 z x2yxy 2 在点 (1，2) 的全微分26 求微分方程 y4y3y9e 3x 的通解27 计算 dxdy，其中 D 为 x2y 23y 与 x0 的公共部分28 证明：方程 x 一 sinx0 只有一个实根专升本（高等数学一）模拟试卷 61 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 原式 22 【正确答案】 C【试题解析】 函数的极值点可能是不可导点，即 f(x0)不一定存在；若 f(x0)存在，则 f(x0)03 【正确答案】 A【试题解析】 f(1)，又因为 f(x) ，所以 f(1) 4 【正确答案】 C【试题解
5、析】 y cos x，ysin x，ycos x5 【正确答案】 D【试题解析】 1， ，所以6 【正确答案】 A【试题解析】 原式 e2xd(2x)e 2xC7 【正确答案】 B【试题解析】 un 收敛，则 un 也收敛，其中 k 为常数，所以 A、C、D 均收敛； (un3) 3 发散，所以(un3) 发散8 【正确答案】 A【试题解析】 y1 一 ，令 y0，则 1，x 29，所以 x3 或 x一 3，即单调增区间为(一，一 3)和(3，)9 【正确答案】 D【试题解析】 z cos(x 2y)，则 一 sin(x2y).x2一 x2sin(x2y)10 【正确答案】 C【试题解析】 分
6、离变量得： dx，即 一 x)dx，两边同时积分得：lny ln x一 x2C，所以通解为 yC.二、填空题11 【正确答案】 0【试题解析】 sin 1，则 sin 为有界量； x30，则 x3 为无穷小量因为无穷小量与有界量的积为无穷小量，所以 012 【正确答案】 0【试题解析】 y6x 566(x 5 一 1)，当 x1，5时，y0，所以 y 在区间1，5上为增函数，因此最小值为 y(1)165013 【正确答案】 3【试题解析】 aexa f(0) 3，所以 a314 【正确答案】 【试题解析】 15 【正确答案】 一 6t2(1t) 2【试题解析】 一 6t2(1t) 216 【正
7、确答案】 【试题解析】 已知平面 ：3xy 一 3z20，其法向量 n3，1，一 3又知直线与平面 垂直，则直线的方向向量为 s 3，1，一 3，所以直线方程为17 【正确答案】 (一，)【试题解析】 因为 0，所以R，即收敛区间为(一 ，)18 【正确答案】 【试题解析】 令 xrcos ，yrsin ，所以19 【正确答案】 r 2 一 3r0【试题解析】 微分方程 y一 3y0 的特征方程是 r2 一 3r020 【正确答案】 2【试题解析】 2三、解答题21 【正确答案】 原式122 【正确答案】 由 一 1，又因 f(0)2a，所以当 a 时，f(x) 在 x0 连续23 【正确答案
8、】 方程两边对 x 求导有(注意 y 是 x 的函数)，3y一 1(1 一 y)ln(xy)(xy) (1y)，整理得 y ，所以 dydx24 【正确答案】 25 【正确答案】 z x2xy y 2，z yx 22xy， zx 4 48，z y 145，所以 dz 8dx5dy26 【正确答案】 特征方程：r 24r30 r1一 1，r 2一 3 故对应的齐次方程y 4y3y0 的通解为 yC 1ex C 2e3x 因 a一 3 是特征值，故可设特解为Axe 3x Ae 3x 3Axe 3x 一 3Ae3x 3(Ae 3x 3Axe 3x )一6Ae3x 9Axe 3x 代入原方程并整理得：一2Ae3x 9e 3x A ，y* xe3x 故所求通解为：yC 1ex C 2e3x xe3x 27 【正确答案】 令 xrcos ，yrsin ，则 D 可表示为 0 ，0r3sin ，sin3d 一 9(1 一 cos2)dcos 628 【正确答案】 令 f(x)x 一 sin x，其定义域为(一，)因为 f(x)1 一cos x0，所以 f(x)在(一 ，)内单调增加，因此方程 f(x)x 一 sin x0 最多有一个实根，又因为 f(0)0，所以 x0 是原方程的惟一的实根
