1、专升本（高等数学一）模拟试卷 93 及答案与解析一、选择题1 设 f(x)=arctan x，则（A）1（B）一 1（C）（D）2 下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是 ( )3 设（A）arctanx+C（B） arccot x+C（C）（D）4 设 z=ln(x2+y)，则5 已知 f(cos x)=sin x，则 f(cos x)= ( )（A）一 cos x+C（B） cos x+C（C）（D）6 7 在空间直角坐标系中，表示圆柱面的方程是 ( )（A）x 2+y2 一 z2=0（B） x2+y2=4（C） x=y2（D）x 2+y2+z2=18 设区域 D=(x，y)|x 2+y
2、21，x0，y0 ，则在极坐标系下，二重积分可表示为 ( )9 下列级数中，条件收敛的级数是 ( )10 微分方程 y“+2y+y=0 的通解为 ( )（A）y=(C 1+C2x)ex（B） y=(C1+C2x)e-x（C） y=(C1+C2)e-x（D）y=(C 1+C2)ex二、填空题11 12 13 设 则 y=_14 -11xcosx2dx=_15 已知平面 ：2x+y 一 3z+2=0，则过原点且与 垂直的直线方程为_16 17 设 f(1)=2，则18 设区域 D：x 2+y2a2， x0，则直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分，有19 微分方程 满足初始条件 y|x=1
3、=0 的特解为_20 设区域 D 由曲线 y=x2， y=x 围成，则二重积分21 22 计算sin3xdx23 将边长为 a 的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如图所示的阴影部分)，然后将其沿虚线折起，做成一个无盖正三棱柱盒子问当图中的 x 取何值时，该盒子的容积最大?并求出最大容积24 求过点 M0(0，2，4)，且与两个平面 1， 2 都平行的直线方程，其中 1：x+y一 2z 一 1=0， 2：x+2y z+1=025 设 x2+y2+z2 一 4z=0，求26 计算二重积分 其中 D 为曲线 x=y2+1，直线 x=0，y=0，y=1 所围成的区域27 求椭圆 所围成图形的面积 A
4、28 求微分方程 xy+y=ex 满足初始条件 y|x=1=e 的特解专升本（高等数学一）模拟试卷 93 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)=(arctan x)= 再由导数定义知2 【正确答案】 A【试题解析】 注意罗尔定理有三个条件：(1)f(x)在a,b上连续；(2)f(x)在(a，b) 内可导；(3)f(a)=f(b) 逐一检查三个条件即可为了简便起见先检查 f(a)=f(b)故选A.3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 已知 f(cos x)=sin x，在此式两侧对 cos x 求积分
5、，得 f(cos x)d(cos x)=sinxd(cos x)，故选C6 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查定积分的运算7 【正确答案】 B【试题解析】 方程 F(x， y)=0 表示母线平行于 Oz 轴的柱面，称之为柱面方程方程 x2+y2 一 a2=0 表示母线平行 Oz 轴的圆柱面方程同理，F(y，z)=0 及 F(x，z)=0都表示柱面，它们的母线分别平行于 Ox 轴及 Oy 轴故选 B8 【正确答案】 C【试题解析】 因为区域 D：x 2+y21，x0，y0，令 有 0r1，0则 故选 C9 【正确答案】 C【试题解析】 10 【正确答案】 B【试题解析】 微分方程的特征方程为
6、 r2+2r+1=0，解得 r=一 1，为二重根，由通解公式可知其通解为 y=(C 1+C2x)e-x故选 B二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 0【试题解析】 由于积分区间-1，1关于原点对称，被积函数 xcosx2 为奇函数，因此 -11xcosx2dx=015 【正确答案】 【试题解析】 已知平面 ：2x+y 一 3z+2=0其法向量 n=2，1一 3又知直线与平面 垂直，则直线的方向向量为 s=2，1，-3，所以直线方程为16 【正确答案】 【试题解析】 17 【正确答案】 1【试题解析】
7、由导数定义有18 【正确答案】 【试题解析】 因为 D：x 2+y2a2，x0，令 则 r2a2，0ra，19 【正确答案】 【试题解析】 由一阶线性微分方程的通解公式有20 【正确答案】 【试题解析】 因为 D：y=x 2，y=x，21 【正确答案】 22 【正确答案】 设 t=3x，则 dt=3dx23 【正确答案】 正三棱柱盒子的高为 正三棱柱盒子的底面积为 正三棱柱盒子的容积为令 V(x)=0，得驻点 由所给问题的实际意义知 为最大值点，所以 x= 时容积最大，最大容积为24 【正确答案】 如果直线 l 平行于 1，则平面 1 的法线向量 n1 必定垂直于直线 l的方向向量 s同理，直
8、线 l 平行于 2，则平面 2 的法线向量 n2 必定满足n2s由向量积的定义可知，取 由于直线 l 过点 M0(0，2，4)，由直线的标准方程可知 为所求直线方程25 【正确答案】 设 F(x，y，z)=x 2+y2+z2 一 4z，则26 【正确答案】 作出积分区域 D 的草图，如图所示，则积分区域可以不用不等式0xy2+1，0y1 表示，故27 【正确答案】 椭圆关于两坐标轴都对称，所以椭圆所围成的图形面积 A=4A1，其中 A1 为该椭圆在第一象限的曲线与两坐标轴所围成图形面积，所以 A=4A1=40aydx 令 x=acos t，则 dx=一 asin tdt，且当 x=0 时， 当 x=a 时，t=0，则28 【正确答案】 所给方程为一阶线性微分方程，将其化为标准方程将初始条件 y|x=1=e 代入上式，可得 C=0，故为所求的特解?
