1、专升本（高等数学一）模拟试卷 96 及答案与解析一、选择题1 下列命题中正确的有 ( )（A）若 x0 为 f(x)的极值点，则必有 f(x0)=0（B）若 f(x0)=0，则 x0 必为 f(x)的极值点（C）若 x0 为 f(x)的极值点，可能 f(x0)不存在（D）若 f(x)在(a，b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值2 当 x0 时， 与 1-cos x 比较，可得 ( )（A） 是较 1-cos x 高阶的无穷小量（B） 是较 1-cos x 低阶的无穷小量（C） 与 I-cos x 是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量（D） 与 1-cos x 是等价无穷小量3
2、设有直线 则该直线 ( )（A）过原点且垂直于 x 轴（B）过原点且垂直于 y 轴（C）过原点且垂直于 z 轴（D）不过原点也不垂直于坐标轴4 设函数 f(x)=sinx，则不定积分 f(x)dx= ( )（A）sinx+C（B） cosx+C（C）一 sin x+C（D）一 cosx+C5 若 收敛，则下面命题正确的是 ( )6 设函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a 的值为 ( )（A）一 2（B） 2（C）（D）7 设 f(x)在a，b上连续，(a，b) 内可导，则 ( )（A）至少存在一点 (a，b)，使 f()=0（B）当 (a，b)时，必有 f()=0（C）至少存在一点 (
3、a，b)，使得（D）当 (a，b) 时，必有8 交换二次积分次序： 01dx0xf(x，y)dy= ( )（A） 0xdx01f(x，y)dy（B） 01dy0xf(x，y)dx（C） 01dyy1f(x，y)dx（D） 01f(x，y)dy 0xdx9 设 F(x)是 f(x)在a，b上的一个原函数，则 f(x)在 a，b上的不定积分为 ( )（A）（B） F(x)+|C|（C） F(x)+sin C（D）F(x)+ln C(C0)10 极限（A）一 1（B） 0（C） 1（D）2二、填空题11 幂级数 的收敛半径为_12 设 f(x)=esinx，则13 已知当 x0 时， 与 x2 是等
4、价无穷小，则 a=_14 y“+8y=0 的特征方程是_15 若 f(ex)=1+e2x，且 f(0)=1，则 f(x)=_16 已知 f(0)=1，f(1)=2 ，f(1)=3，则 01xf“(x)dx=_17 空间直角坐标系中方程 x2+y2=9 表示的曲线是_18 直线 l： 的方向向量为_ 19 设 z=x2y+sin y，则20 已知 01f(x)dx=，则 01dx01f(x)f(y)dy=_21 当 x时，f(x)与 为等价无穷小量，求22 23 设 f(cos2x)=sin2x，且 f(0)=0，求 f(x)24 欲围一个面积为 150 平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是
5、每平方米 6元，其余三面是每平方米 3 元问场地的两边各为多少米时，才能使所用材料费最少?25 已知 f(x)连续，证明 0xf(t)(x-t)dt=0x0tf(u)dudt.26 已知直线 l： 若平面 过点 M(一 2，9，5)且与 l 垂直，求平面 的方程27 设 判定该函数的极值、单调性以及该曲线的凹向与拐点28 求 y“一 2y一 3y=ex 的通解专升本（高等数学一）模拟试卷 96 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 极值的必要条件：设 y=f(x)在点 x0 处可导，且 x0 为 f(x)的极值点，则 f(x0)=0，但反之不一定成立故选 C.2 【正确答案】
6、B【试题解析】 因为 是1 一 cos x 的低阶无穷小量故选 B.3 【正确答案】 B【试题解析】 将原点坐标(0,0，0)代入方程，等式成立，则直线过原点；由于所给直线的方向向量 s=1，0，一 2，而 y 轴正方向上的单位向量 i=0，1，0，s.i=10+01+(一 2)0=0因此 si，即所给直线与 y 轴垂直故选 B.4 【正确答案】 A【试题解析】 由不定积分的性质“先求导后积分，相差一个常数”可知选项 A 正确5 【正确答案】 D【试题解析】 6 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)在 x=0 处连续，所以 又f(0)=2， 一 a=2，a= 一 2故选 A.7 【正确答案】
7、 C【试题解析】 本题考查了拉格朗日中值定理的条件及结论8 【正确答案】 C【试题解析】 由所给积分限可知积分区域 D 可以表示为： 0x1，0yx，其图形如图所示交换积分次序可得 01dx0xf(x，y)dy= 01dyy1f(x，y)dx 故选 C9 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)dx=F(x)+C，这里的 C 是任意实数故选 D.10 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 所给幂级数为不缺项情形，可知 =1，因此收敛半径12 【正确答案】 一 1【试题解析】 由 f(x)=esinx，则 f(x)=cox xesinx再根据导数定义有13 【
8、正确答案】 2【试题解析】 所以当a=2 时是等价的14 【正确答案】 r 2+8r=0【试题解析】 本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特征方程的概念y“+8y=0 的特征方程为 r2+8r=015 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(ex)=1+e2x，则等式两边对 ex 积分有16 【正确答案】 2【试题解析】 由题设有 01xf“(x)dx=01xdf(x)=xf(x)|01 一 01f(x)dx=f(1)一 f(x)|01=f(1)一 f(1)+f(0)=32+1=217 【正确答案】 以 Oz 为轴的圆柱面【试题解析】 方程 F(x， y)=0 表示母线平行于 Oz 轴的柱面
9、，称之为柱面方程方程 x2+y2 一 32=0 表示母线平行 Oz 轴的圆柱面方程18 【正确答案】 一 2， 1，2【试题解析】 直线 l 的方向向量为19 【正确答案】 2x【试题解析】 由于 z=x2y+sin y，可知20 【正确答案】 2【试题解析】 因为 01f(x)dx=，所以 01dx01f(x)f(y)dy=01f(x)dx01f(y)dy =(01f(x)dx)2=221 【正确答案】 由于当 x时，f(x)与 为等价无穷小量，因此22 【正确答案】 23 【正确答案】 因为 f(cos2x)=sin2x=1 一 cos2x，所以 f(x)=1 一 x，f(x)=f(x)d
10、x=(1-x)dx= 又因为 f(0)=0，所以 C=0，f(x)=24 【正确答案】 设所围场地正面长为 x，另一边为 y，则 xy=150从而 y= 设四面围墙高度相同，都是 h，则四面围墙所使用的材料总费用为 f(x)=6xh+3(2yh)+3xh 令 f(x)=0，得驻点x1=10， x2=一 10(舍去) f“(10)=18h0由于驻点唯一，由实际意义可知最小值存在，因此可知当正面长为 10 米，侧面长为 15 米时所用材料费最少25 【正确答案】 右边= 0x0tf(u)dudt=t0tf(u)du|0x 一 0xtf(t)dt=x0xf(u)du-0xtf(t)dt=x0xf(t
11、)dt 一 0xtf(t)dt=0xxf(t)dt-0xtf(t)dt=0x(x 一 t)f(t)dt=左边26 【正确答案】 由题意可知，直线 l 的方向向量 s=3，4，一 7必定平行于所求平面丌的法向量 n，因此可取n=s=3，4，一 7利用平面的点法式方程可知3x 一 (一 2)+4(y 一 9)一 7(z 一 5)=0，即 3(x+2)+4(y 一 9)一 7(z 一 5)=0为所求平面方程或写为一般式方程：3x+4y 一 7z+5=027 【正确答案】 所给函数的定义域为(一，+) ，令 y=0，得驻点 x1=一 2，x 2=0当 x=一 1 时，y不存在 在 x=一 1 处 y“
12、不存在，当 x一1 时，y“0列表分析由上表可知，函数 y 的单调递减区间为(一，一 2)，(一 1，0)；单调递增区间为(一 2，一 1)， (0，+)x=一 2 与 x=0 为其两个极小值点，极小值 f(一 2)=0，f(0)=0；x=一 1 为其极大值点，极大值 f(一 1)=1曲线在(一，+) 上都是上凹的，没有拐点28 【正确答案】 其对应的齐次方程的特征方程为 r2 一 2r 一 3=0，特征根为 r1=一1，r 2=3，相应齐次方程的通解为 Y=C1e-x+C2e3x设方程的特解为 y*=Aex，代入 y“一 2y一 3y=ex， 原方程的通解为 y=C1e-x+C2e3x一 (其中 C1，C 2 为任意常数)。
