1、专升本（高等数学二）模拟试卷 53 及答案与解析一、选择题1 下列命题正确的是 ( )（A）无穷小量的倒数是无穷大量（B）无穷小量是以零为极限的变量（C）无界变量一定是无穷大量（D）无穷小量是绝对值很小很小的数2 在下列函数中，当 x0 时，函数 f(x)的极限存在的是 ( )3 设 f(x)= ，则 f(x)在 ( )（A）x=0 处连续，x=1 处间断（B） x=0 处间断，x=1 处连续（C） x=0，x=1 处都连续（D）x=0，x=1 处都间断4 方程 x3+2x2 一 x 一 20 在一 3，2 上 ( )（A）至少有 1 个实根（B）无实根（C）有 1 个实根（D）有 2 个实根
2、5 曲线 y= 在点 (1，1)处的切线方程为 ( )（A）x+y+2=0（B） x+y 一 2=0（C） x 一 y+2=0（D）yx+2=06 若 ，则 f(x)= ( )（A）x 2（B） 2x（C）（D）x7 曲线 y=x 一 4x2+x4 的凸区间是 ( )（A）(一， 2)（B） (一，0) (2，+)（C） (一，+)（D）(0 ，2)8 下列反常积分收敛的是 ( )（A） 1+cosxdx（B）（C） 1+exdx（D） 1+lnxdx9 设函数 z=sin(x+y)，则 = ( )（A）cos(x+y)（B） sin(x+y)（C）一 cos(x+y)（D）一 sin(x+y
3、)10 把两封信随机地投入标号为 1，2，3，4 的 4 个邮筒中，则 1，2 号邮筒各有一封信的概率等于 ( )二、填空题11 函数 f(x)= 的间断点为 x=_12 设函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_13 设 y=sin(2x+1)，则 y“=_14 函数 f(x)=x+ 的单调增区间为 _15 曲线 y=ex+x2 在点(0，1)处的切线斜率为_16 设 f(x)为连续函数，则(x)dx=_17 11(x3cosx+I)dx=_18 01(2x 一 1)5dx=_19 设二元函数 z= =_20 设二元函数 z=x3y2，则 =_21 若 ，求 a 与 b22 设 f(
4、x)= ，求 f(x)23 曲线 y=2x2+3x 一 13 上点 M 处的切线斜率为 11，求点 M 的坐标及切线方程24 计算25 电路由两个并联电池 A 与 B，再与电池 C 串联而成，设电池 A、B、C 损坏的概率分别是 02，02，03，A、B、C 是否损坏相互独立，求电路发生间断的概率26 求函数 f(x)=x3 一 3x+1 的单调区间和极值27 设 z=z(x，y)由方程 所确定，求 dz28 设 f(x)是连续函数，且 f(x)=x+201f(t)dt，求 f(x)专升本（高等数学二）模拟试卷 53 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 A 项：无穷小量(除去
5、零)的倒数是无穷大量 B 项：无穷小量是以零为极限的变量C 项：无界变量不一定是无穷大量，但无穷大量是无界变量 D项：无穷小量不是绝对值很小很小的数(除去零)，绝对值很小很小的“数”其极限值不一定为零2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 f(0)=0 ，f(1)=1；=f(1)，故选 B。4 【正确答案】 A【试题解析】 给出的是一元三次方程，不易求解，转化为分析函数极值问题 令f(x)=x3+2x2 一 x 一 2，则 f(x)=3x2+4x 一 1；令 f(x)=0，得 x=；故在(一 3，x 1)上，f(x)0，f(x)增；在(x 1，x 2)上， f(x)
6、0，f(x) 减；在(x 2，2)上，f(x)0，f(x)增又f(一 3)0，f(x 1)0，f(x 2)0，f(2) 0，故可得 f(x)的图像大致如下如此看出f(x)=0 在一 3，2上有 3 个实根5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y=一 ，y x=1=一 1，所以切线方程为 y 一 1=一(x 一 1)，即x+y 一 2=0故选 B。6 【正确答案】 B【试题解析】 题中给出 ，所以 f(x)=2x7 【正确答案】 D【试题解析】 y=112x 2+4x3，y“=一 24x+12x2=一 12x(a，一 2)，当 0x8 【正确答案】 B【试题解析】 9 【正确答案】 D【试题解
7、析】 10 【正确答案】 C【试题解析】 因两封信投向 4 个邮筒共有的投法(可重复排列)为 n=42=16；满足1，2 号邮筒各有一封信的投法为 k=A22 一 2，故所求概率为 P= 二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 由函数解析式可知，x1，间断点为 x=112 【正确答案】 0【试题解析】 f(0)=e 0 一 1=0 一 a，即 a=013 【正确答案】 一 4sin(2x+1)【试题解析】 y=2cos(2x+1)，y“=一 4sin(2x+1)14 【正确答案】 (一，一 1)，(1，+)【试题解析】 f(x)的定义域为( ，0)(0，+)且为奇函数， f(x)=1 一
8、 ，令f(x)0，解得 x1 或 x 1， f(x) 的单调增区间为(一，一 1)，(1，+) 附：对勾函数的单调性可根据图像简单得出15 【正确答案】 1【试题解析】 y=e x+2x，y x=0=3即曲线 y2=ex+x2 在点(0，1)处的切线斜率为316 【正确答案】 f(x)+C【试题解析】 根据微分积分的逆运算，原式=f(x)+C 。17 【正确答案】 2【试题解析】 (x 3cosx+1)dx=(x3 一 6x)sinx+(3x2 一 6)cosx+z+C， 原式=一 5sin1一 3cos1+1 一(一 5sin1 一 3cos1 一 1)=218 【正确答案】 0【试题解析】
9、 19 【正确答案】 【试题解析】 20 【正确答案】 6x 2y【试题解析】 21 【正确答案】 若 =5，则当 x2 时，x 2+ax+b 与 x 一 2 为同阶无穷小量， 令 x2+ax+b=(x 一 2)(x+k)() 则 =5，此时 k=3，代入()式得 x2+ax+b=(x 一 2)(x+3)， 即 x2+ax+b=x2+x 一 6，所以 a=1，b=一 6 注：本题关键在于根据同阶无穷小量的定义，将 x2+ax+b 写成两个一次式的乘积，使得两个未知数 a，b 变为一个 k，解答就简便了22 【正确答案】 23 【正确答案】 因 y=4x+3=11，得 x=2，y=1，点 M(2
10、，1)， 所求切线方程为 y 一 1=11(x 一 2)，即 11xy 一 21=024 【正确答案】 25 【正确答案】 用 分别表示 A、B、C 电池损坏，则所求概率为 =0202+0302020 3 =032826 【正确答案】 函数的定义域为(一，+) ，f(x)=3x 2 一 3 令 f(x)=0，得驻点x1=一 1，x 2=1 列表 函数 f(x)的单调增区间为( 一，1，1，+)， 函数 f(x)的单调减区间为一 1，1； f(一 1)=3 为极大值，f(1)=一 1 为极小值 注：如果将(一，一 1写成(一，一 1)，1，+) 写成 (1，+)，一 1，1写成(一 1，1)也对27 【正确答案】 先将方程化简，得28 【正确答案】 令 01f(t)dt=c，则由题设知 f(x)=x+2c，设知 f(x)=x+2c，
