1、专升本（高等数学二）模拟试卷 74 及答案与解析一、选择题1 函数 f(x)在点 x0 处有定义是 f(x)在点 x0 处连续的 【 】（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件2 要使 f(x)= 在 x=0 处连续，应补充 f(0)等于 【 】（A）e 6（B） 6（C）（D）03 下列反常积分收敛的是 【 】4 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 ex f(ex )dx 等于 【 】（A）F(e x )+C（B） F(ex )+C（C） F(ex)+C（D）F(e x)+C5 设 f(x)=x3sinx，则 f( )= 【 】（A） 2（B
2、C）（D）26 若 f(x0)=0，f(x 0)0，则 【 】（A）f(x 0)是 f(x)的极小值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)不是 f(x)的极值（D）不能判定 f(x0)是否为 f(x)的极值 7 下列不定积分计算正确的是 【 】（A）x 2dx=x3+C（B）（C） sinxdx=cosx+C（D）cosxdx=sinx+C8 设 f(x)= x3x，则 x=1 为 f(x)在2，2上的 【 】（A）极小值点，但不是最小值点（B）极小值点，也是最小值点（C）极大值点，但不是最大值点（D）极大值点，也是最大值点9 下列定积分等于零的是 【 】（A） 1 1x
3、2cosxdx（B） 1 1xsinxdx（C） 1 1(x+sinx)dx（D） 1 1(ex+x)dx10 若随机事件 A 与 B 相互独立，而且 P(A)=04 ，P(B)=0 5，则 P(AB)= 【 】（A）02（B） 04（C） 05（D）09二、填空题11 =_12 函数 f(x)= 的连续区间为 _13 双曲线 y= 在点( ，2) 处的切线方程为_，法线方程为_14 设 f(x)=ex ，则xf(x)dx=_15 =_16 函数 z= 的定义域是_17 设 z=2x2+3xyy 2，则 =_18 斜边长为 l 的直角三角形中，最大周长为_ 19 sinxcosxdx=_20
4、21 求 f(x)= 的间断点，并指出类型22 已知曲线 y=x3+bx2+cx 通过点(1，4) ，且在横坐标为 x=1 的点处切线斜率为2，求 b、c 的值23 求函数 y=(x2) 的极值24 设曲线 y=cosx(0x )与 x 轴、y 轴所围成的图形面积被曲线y=asinx，y=bsinx(ab0)三等分，试确定 a、b 的值25 甲乙两人独立地向同一目标射击，甲乙两人击中目标的概率分别为 08 与05，两人各射击一次，求至少有一人击中目标的概率26 在曲线 y=x2(x0)上某点 A 处作一切线，使之与曲线以及 x 轴所围图形的面积为，试求：(1)切点 A 的坐标； (2)过切
5、点 A 的切线方程； (3)由上述曲线和切线及x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积27 若抛物线 y=x2 与直线 x=k，x=k+2 及 y=0 所围图形的面积最小，求 k28 当 x0 时，证明 ex 1+x专升本（高等数学二）模拟试卷 74 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 由连续的定义： =f(x0)，得 f(x)在点 x0 处一定有定义；但 f(x)在点 x0 处有定义不能保证 f(x)在 x0 的邻域内一定连续2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以要使 f(x)在x=0 处连续，应补充 f(0)=63 【正确答案】 C【试题解析】 A
6、项： 发散；B 项：发散；C 项：收敛；D 项：发散4 【正确答案】 B【试题解析】 e x f(ex )dx=f(e x )dex =F(e x )+C5 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)=3x 2sinx+x3cosx，6 【正确答案】 B【试题解析】 根据判定极值的第二充分条件可知 B7 【正确答案】 D【试题解析】 这类题可以通过直接计算不定积分后进行选择，也可以对不定积分求导看是否等于被积函数来进行选择8 【正确答案】 B【试题解析】 f(z)=x 21 ，驻点为 x=1，f(x)=2x，f(1)=20所以 x=1 为极小值点又 所以 x=1 为极小值点，也是最小值点9 【正确
7、答案】 C10 【正确答案】 A二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 0，1) (1，3【试题解析】 分段函数 f(x)在其每段内都是连续的，因此只需看分段点 x=1，x=2处连续情况 则 f(x)在 x=1 处不连续 则 f(x)在 x=2 处连续综上，f(x)的连续区间为0 ，1) (1，313 【正确答案】 【试题解析】 ，所以切线方程为 y2= ，法线方程为 y2=14 【正确答案】 xe x +ex +C【试题解析】 分部积分法，xf(x)dx=xdf(x)=x.f(x)f(x)dx=x.ex e x dx=xex +ex + C15 【正确答案】 2【试题
8、解析】 由奇、偶函数对称区间求定积分性质得，16 【正确答案】 (x，y)yx【试题解析】 因 1+x2+y21，所以要使表达式有意义，自变量 x、y 只需满足yx0，即 yx 所以函数的定义域为：D=(x，y)yx17 【正确答案】 3【试题解析】 先求 =318 【正确答案】 (1+ )l【试题解析】 该题也是条件极值问题用拉格朗日乘数法求解设直角三角形的两直角边长分别为 x 和 y，周长为 z，且 z=l+x+y(0xl ，0yl) 条件函数为 l2=x2+y2令 F(x，y，)=l+x+y+(x 2+y2l 2)求解方程组根据实际意义，一定存在最大周长，所以x=y= 时，即斜边长为 l
9、 时的等腰直角三角形周长最大，且此周长为(1+ )l19 【正确答案】 yx y1 dx+xylnxdy20 【正确答案】 21 【正确答案】 因 f(x)= ，故 x=0，x=1，x=2 是 f(x)的间断点 又因 f(0)、f(1)、f(2) 都不存在，所以x=0 是 f(x)的第一类间断点(可去间断点)；x=1，x=2 是 f(x)的第二类间断点(无穷间断点)22 【正确答案】 y x=1=(3x2+2bx+c) x=1=3+2b+c=2，4=1+bc 解得23 【正确答案】 函数的定义域为 D=( ，+) ，令 y=0，得驻点 x= ，y不存在的点为x=0列表讨论如下 由表知函数的极小
10、值为 ，极大值为 024 【正确答案】 由 y=cosx，y=asinx，得 tanx= ，故有 x1= ，同理可求得x2= 因为 cosxdx=1，所以 D1=D2=D3= 25 【正确答案】 设 A=甲击中目标， B=乙击中目标， C=目标被击中则 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=08+05 0805=0926 【正确答案】 (1)设点 A 为(a 0，a 02)由 y=2x，得过点 A 的切线斜率为 2a0，则切线方程为 ya 02=2a0(xa 0)即 x= 由题作图，由图知解得 a0=1(x0)所以点 A 的坐标为(1，1)(2)过点 A 的切线方程为 y1=2(x1)，即 y=2x1(3)由图知绕 x 轴旋转的体积为27 【正确答案】 因为 y=x 20，图形面积为 令S(k)=4k+4=0，得驻点 k=1又 S(k) k=1 =4 0，所以 当 k=1 时，S(k) 取最小值28 【正确答案】 设 F(x)=exx1，F(x)=e x1。 当 x0 时，F(x) 0，F(x)单调下降， 所以当 x0 时，F(x)F(0)=0， 即 exx10，得 exx+1
