1、广东专插本（高等数学）模拟试卷 31 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设函数 f()可导且 f(0)=0，则 ( )（A）f ()（B） f(0)（C） f(0)（D） f(0)2 下列函数中，是奇函数的为 ( )（A）y= 4+2+1（B） y=.sin2（C） y=3-e-2（D）y=ln 23 设函数 f()和 g()在点 0 处不连续，而函数 h()在点 0 处连续，则函数( )在 0 处必小连续。（A）f()+g()（B） f()g()（C） f()+h()（D）f()h()4 由曲线 ，直线 y= 及 =2 所围图形面积为 ( )（A）（B
2、）（C）（D）5 交换二次积分 的积分次序后，I= ( )（A）（B）（C）（D）二、填空题6 _。7 设 f()=e2-1，则 f(2015)(0)=_。8 定积分 _。9 设区域 D= ，y01，-1y1，则 =_。10 函数 y=23+32-12+1 的单调递减区间是_。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 求极限 。12 已知参数方程 。13 e2求不定积分e 2+ln(1+)d14 求 。15 求函数 y=xarctanx-ln 的导数 y。16 设 2+y2+2-2yz=ez 确定函数 z=z(，y)，求 。17 计算二重积分 ，其中 D 是由直线 =2，y= 与双曲线 y=
3、1 所围成的区域。18 求微分方程 y -2y-3y=e-的通解。四、综合题19 过曲线 y=2(0)上某点 A 作切线，若过点 A 作的切线，曲线 y=2 及 轴围成的图形面积为 ，求该图形绕 轴旋转一周所得旋转体体积 v。20 证明：方程 在(0，1)内恰有一实根。广东专插本（高等数学）模拟试卷 31 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B2 【正确答案】 B3 【正确答案】 C4 【正确答案】 B5 【正确答案】 C二、填空题6 【正确答案】 7 【正确答案】 2 2015e-8 【正确答案】 9 【正确答案】 10 【正确答案】 (-2
4、，1)三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 令 =t，则 =t2，d=2tdt ，t 1， ，故15 【正确答案】 16 【正确答案】 令 F(，y，z)= 2+y2+2-2yz-ez=0，则 F =2+2，F y=2y-2z，F z=-2y-ez， 故当-2y-e z0 时，有 17 【正确答案】 先沿 y 方向积分，区域 D 可表示成： ，则18 【正确答案】 相应的齐次方程为 y -2-3y=0， 其特征方程为 r 2-2r-3=0， 得特征根为 r1=3，r 2=-1，故齐次方程的通解为 y=C 1e3+C
5、2e-(C1，C 2 为任意常数)。 由于自由项 f()=e-，=-1 是特征单根，故可设原方程的特解为 y *=(A+B)e-， 将 y*代入原方程，得 -8A+2A-4B= ， 有 -8A=1 ，2A-4B=0 得 故原方程的特解为 。 所以原方程的通解为 y=C1e3+C2e- (2+1)e-(C1，C 2 为任意常数) 。四、综合题19 【正确答案】 设 A 点坐标( 0， 02)，由 y=2，得切线方程为 y-02-20(-0)或，由已知 ， 所以 0=1，A(1 ，1)，切线方程为 2-y-1=0 切线与 轴交点为 = ，于是 20 【正确答案】 故由零点定理知，f() 在(0 ，1)内至少有一零点，即方程 在(0，1)内至少有一实根，又 ， (0，1)，故 f()在(0 ，1)内单调递增，于是函数y=f()与 轴至多有一个交点，即方程 f()=0，也是 在(0，1)内至多有一个实根。 综上所述，方程 在(0，1)内有一实根。
