1、广东专插本（高等数学）模拟试卷 51 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列极限中正确的是 ( )（A）（B）（C）（D）2 设函数 y2 cos，则 y ( )（A）2 cosln2（B） 2cossin（C） ln2.2cos.sin（D）2 cos-1sin3 若f()d 2C ，则.f(1 2)d ( )（A）2(1 2)2C（B） 2(1 2)2C（C） (1 2)2C（D） (1 2)2C4 下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有 ( )（A）y ，1，1（B） ye ，1，1（C） y ，1，1（D）yln 2，1，15 设有级数 an，S
2、 n ak，则 Sn 有界是级数 an 收敛的 ( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件二、填空题6 设 f()(1)(2)( 3)( 4)，则 f(4)_7 曲线 ye -的拐点为_8 _9 微分方程 y2yy0 的通解为_10 设 _三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 求极限12 由方程 ey y2e 2 确定的函数为 yy() ，求 13 求函数 ye 在闭区间0，1上的曲边梯形绕 z 轴旋转所得旋转体的体积14 求不定积分15 设 u 2 sin2ye y，求全微分 du16 计算 2ddy，其中 D 为圆 2y 21 及 2y 29
3、所围成的环形区域17 求微分方程 3y2y0 满足条件 y 0 0，y 0 的特解18 判定级数 的敛散性四、综合题19 设函数 f()2arctan，(1)求函数 f()的单调区间和极值；(2)求曲线 yf()的凹凸区间和拐点20 证明：方程 e dt0 在区间(0，1)内有唯一的实根广东专插本（高等数学）模拟试卷 51 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为重要极限的结构形式为 e式中“口”可以是自变量 ，也可以是 的函数，而口0，表示当 0()时，必有口0，即口是当 0() 时为无穷小量且小括号内用“”相连时上式 e成立
4、所以 A、B、C 不正确，因此选 D2 【正确答案】 C【试题解析】 y2 cos.ln2.(cos)ln2.2 cos.sin3 【正确答案】 C【试题解析】 .f(1 2)d f(1 2)d(1 2) (1 2)2C 4 【正确答案】 A【试题解析】 B 选项中 y(1)不等于 y(1)，C 选项中，y(1)不存在，y(1)y(1) ，D 选项中函数在 0 处不连续，A 选项中，函数在1，1连续，在(1， 1)可导， y(1)y(1)，符合罗尔定理条件，故本题选 A5 【正确答案】 B【试题解析】 级数 an 收敛 极限 Sn 存在，则 Sn 有界，而有界不一定收敛，如交错级数二、填空题6
5、 【正确答案】 4!【试题解析】 lnf()lnln(1)ln(2)ln(3)ln(4)，即f(4)00004.3.2.14! 7 【正确答案】 【试题解析】 ye e ，ye (e e )e 2e ， 令 y0得 2，即拐点为 8 【正确答案】 0【试题解析】 f() 为奇函数，且积分区间关于原点对称，则9 【正确答案】 yC 1eC 2e【试题解析】 微分方程的特征方程为 22 1 0，则特征方程有二重根 1，故微分方程的通解为 y(C 1C 2)e(C 1，C 2 为任意常数)10 【正确答案】 【试题解析】 方程两边对 y 同时求导， ，解出三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11
6、【正确答案】 ， 令 t ，则 原式12 【正确答案】 两边同时对 求导，得 ey.yy 2 2yy0， 则y ，由题设当 0 时，y2，故 4e -213 【正确答案】 如图所示，该曲边梯形绕 轴旋转所得旋转体的体积为 V 01y2d 01(e)2d 01e2d e2 01 (e21)14 【正确答案】 15 【正确答案】 2ye y， 2cos2ye y所以 du (2ye y)(2cos2y e y)dy16 【正确答案】 画出区域 D 如图所示，由积分区域的对称性及被积函数关于 X 轴和 Y 轴都是偶函数，故有 2ddy4 2ddy， 其中 D1 为区域 D 在第一象限的部分，即 D
7、1(，y)1 2y 29，0，y0 利用极坐标变换，D 1 可表示为00 ，1r3，故 因此，2ddy4 2ddy2017 【正确答案】 对应的特征方程为 3r22r0，解得 r0， ，故通解为yC 1 C2 ， 则 y 代入条件可得 解得C1 2，C 22 故特解为 y22 18 【正确答案】 0，又 收敛，故由比较判别法知级数 收敛四、综合题19 【正确答案】 (1)因为函数 f()2arctan，则 f()1 ， 令 f()0，得驻点 1 当 1 时，f()0； 当11 时，f() 0； 当 1 时， f0 故函数 f()在( ，1)与(1， )上单调增加；函数 f()在(1， 1)上单
8、调减少 因此函数 f()在 1 处取得极大值 f(1) 1，在1 处取得极小值 f(1)1 ； (2)因为 f() ，所以 f() ， 令 f()0，得 0 因为当 0 时，f()0， 故曲线yf()在区间 (，0)上是凸的 又因为当 0 时，f()0， 故曲线 yf()在(0， )上是凹的，且(0，0)是曲线的拐点20 【正确答案】 令 f() ，显然 f()在0，1上连续 又f(0) 0 由 ， 知f(1) 0， 由零点定理知，f()在(0， 1)内至少有一个零点，即方程 f()0 至少有一实根 又 f()e 0(0)， f()在0，1上单调递增，即 f()在(0，1)内与 轴至多有一个交点 所以，由上述讨论知，在(0，1)内，方程 e 0有唯一的实根
