1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 f(x)=xsin 在点 x=0 处( )。（A）有定义但无极限（B）无定义但有极限值 0（C）无定义但有极限值 1（D）既无定义又无极限值2 若 f(x)在 x=a 处可导，则 =( )。（A）mf(a)（B） nf(a)（C） (m+n)f(a)（D）3 设 f(x)的导函数连续，且 是 f(x)的一个原函数，则xf(x)dx=( )。4 若 f(x)在-a，a 连续，则 -aaxf(x)+f(-x)dx=( )。（A）2 0axf(x)dx（B） 20axf(-x)dx
2、（C） 0（D）2 0axf(x)+f(-x)dx5 向量 a=(1，-4，1)与 b=(2，-2，-1)的夹角 为( )。6 已知当 x0 时，x 21n(1+x2)是 sinnx 的高阶无穷小，而 sinnx 又是 1-cosx 的高阶无穷小，则正整数 n=( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题7 定积分 。8 曲线 的拐点是。9 若 f(x)= ，则 ff(f(x)。10 已知 a，b 均为单位向量，且 ab= ，则以向量 ab 为邻边的平行四边形的面积为。11 的收敛半径和收敛域为。12 若 。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设方程 x2+y2+z2-4z=
3、0 确定 z=z(x，y)，求 。14 计算 I= (x+y)dxdyD：x 2+y22x。15 判别 的敛散性。16 将 展开成 x 的幂级数。17 求 xydx+ =0 满足 y(-1)=2 的特解。18 已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程的根为 r1,2=12i，求此微分方程。19 设 ，求 y及 y”。20 求曲线 的凹凸区间与拐点。四、综合题21 设 f(x)在闭区间0，1上连续，在 (0，1)内大于 0，并满足 xf(x)=f(x)+3x2，若曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围成的图形 S 的面积为 2，求 y=f(x)。22 设 其中 Dt 是由 x=t、y=t 以及坐
4、标轴围成的正方形区域，函数 f(x)连续。(1) 求 a 的值使得 g(t)连续； (2)求 g(t)。23 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资金，销售收入 z(万元)与电台广告费用 x(万元)及报纸广告费用 y(万元)之间的关系有如下公式：z=15+14x+32y-8xy-2x 2-10y2。 问：在广告费用不限的情况下，怎样才能达到最优的广告策略?五、证明题24 证明：对 x0，则 x2+ 12 成立。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 无定义是显然的，因为
5、极限 (无穷小乘以有界量仍是无穷小)2 【正确答案】 C【试题解析】 =(n+m)f(a)， 在这里函数值由 f(a-mh)变为 f(a+nh)，自变量改变了(a+nh)-(a-mh)=(n+m)h，因此，相应地在分母的位置上构造出相同的自变量的改变量3 【正确答案】 D【试题解析】 注：本题也是考试中常见的题型，有两点需要注意，一是根据已知条件求出 f(x)，二是在求f(x)dx 的时候不用再把求出的 代入进去算 了，因为条件中已经告诉我们 是 f(x)的一个原函数，而f(x)dx 就是求 f(x)的原函数，所以不用再进行求解了。4 【正确答案】 C【试题解析】 本题利用函数的对称性和奇偶性
6、化简定积分计算，因为 xf(x)+f(-x)为奇函数，所以结果为 0。5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 C【试题解析】 由已知， ，则 nnx 是 1-cosx 的高阶无穷小，则 ，则 n2，所以 n=3，选 C 项。二、填空题7 【正确答案】 1【试题解析】 02x-1 dx= 01(1-x)dx+12(x-1)dx8 【正确答案】 (1，4)【试题解析】 当 x(-，1)时，y”0，当 x=1 时，y=4，所以拐点是(1，4)。9 【正确答案】 x【试题解析】 ff(f(x)10 【正确答案】 【试题解析】 根据向量叉积，以向量 a，b 为邻边的平行四边形的面积为S= a
7、bsin=ab ，由已知，a=1，b =1，ab=abcos= ，所以 cos= ，可得 sin= ，可得平行四边形面积为 ab=absin= 。11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 ，把(1，-1)代入即可。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 【试题解析】 (1)F=x 2+y2+z2-4z，F x=2x，F y=2y，F z=2z-4。14 【正确答案】 【试题解析】 (1)画出积分区域 D(2) D 关于 x 轴对称，y 关于 y为奇函数，15 【正确答案】 收敛【试题解析】 解法(1)：这是正项级数，由比较法非极限形式知收敛。解法(2
8、)： ，由性质知也收敛。16 【正确答案】 【试题解析】 17 【正确答案】 【试题解析】 18 【正确答案】 y”-2y+5y=0【试题解析】 (1)特征方程： (r-1-2i)(r-1+2i)=0， (r-1) 2-(2i)2=0， (r-1) 2-4i2=0(i2=-1)，r2-2r+1+4=0， r 2-2r+5=0。 (2)微分方程：y”-2y+5y=0。19 【正确答案】 【试题解析】 20 【正确答案】 拐点(0，-1)及(1 ， )；(-，0)，(1，+)为凹区间，(0，1)为凸区间【试题解析】 (1)定义域(-，+) 。得 x=0；y”不存在的点为 x=1。(3)列表四、综合
9、题21 【正确答案】 解：由 xf(x)=f(x)+3x2，可得 f(x)- f(x)=3x，所以p= ，q=3x。那么p(x)dx=-lnx， =3x。所以 f(x)=(3x+C)x=3x2+Cx。由题意可得：S= 01(3x2+Cx)dx=(x3+ ) 01=1+ =2，所以C=2。所以 f(x)=3x2+2x。22 【正确答案】 如图，画出积分区域， 则=0tdx0tf(x)dy=0tf(x)dx。即 g(t)=0tf(x)dx，t0 ，a ，t=0，(1)根据函数连续定义，满足 =f(0)=g(0)=a，所以 a=0。(2)当 t0 时,g(t)=(0tf(x)dx)=f(t)。t=0
10、 时，g(0)= =f(0)。所以，g(t)=f(t) 。23 【正确答案】 解：广告策略最优，即要求公司通过做广告，获得的利润最大因利润函数：L(x ，y)=R(x，y)-C(x，y)=15+14x+32y-8xy-2x 2-10y2-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2x2-10y2又 L”xx(x， y)=-4，L”xy(x，y)=-8，L”yy(x，y)=-20，故 B2-AC=64-(-4)(-20)=-16五、证明题24 【正确答案】 证明：令 f(x)=x2+ ，f(x)=2x- =0，解得：x=2，故 f(2)=4+8=12，f(+)=+，f(0+0)=+ ，f min(x)=12，即 x2+ 12。
