1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若 ，则下列正确的是( )。2 下列函数在-1，1上满足罗尔定理条件的是( )。（A）y=e x（B） y=1+x（C） y=1-x2（D）y=1-3 设 f(x)=x(x2-12)(x2-22)(x2-n2)，则 f(0)=( )。（A）(n!) 2（B） (-1)n(n!)2（C） n!（D）(-1) nn!4 设 f(x)=alnx+bx3-3x 在 x=1，x=2 取得极值，则 a，b 为( )。（A）a= ， b=2（B） a=2，b=（C） a= ，b=2（D）a=-2
2、，b=5 设 e-2x 是 f(x)的一个原函数，则 =( )。（A）2e -2x（B） 8e-2x（C） -2e-2x（D）4e -2x6 若 f(x)的一个原函数为 ln2x，则xf(x)dx=( )。（A）lnx-ln 2x+C（B） 2lnx+ln2x+C（C） 21nx-ln2x+C（D）lnx+ln 2x+C二、填空题7 设 y=y(x)满足 exy+sin(x2y)=y3，则 y(0)=。8 设函数 y=2x2+ax+3 在 x=1 处取得极小值，则 a=。9 =。10 微分方程 ycox-ysin=1 的通解为。11 设a=1，ab，则 a(a+b)=。12 曲线 y=2x 与
3、 y=log2x 关于对称。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设 y=xtanx，求 y。14 分析 的间断点，并指明其类型。15 求 。16 设 z=f(2x+3y，xy)其中 f 具有二阶连续偏导数，求 。17 在-1 和 2 之间求值 C，使 y=-x，y=2x ，y=1+Cx 所围图形面积最小。18 求 。19 求 2yy+2xy2= 的通解。20 计算二重积分 ，其中 D 是第一象限内圆 x2+y2=2x 及直线y=0 所围成的区域。四、综合题21 在直角坐标系的第一象限内作 4x2+y2=1 的切线，使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小，求切点坐标。22 某公司的甲、乙两
4、厂生产同一种产品，月产量分别是 x，y(千件)，甲厂的月生产成本是 C1=x2-2x+5(千元)，乙厂的月生产成本是 C2=y2+2y+3(千元)。若要求该产品每月总产量为 8 千件，并使总成本最小，求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本。23 把一根长为 a 的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铅丝各多长时，圆形面积与正方形面积之和最小。五、证明题24 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0)=0，0f(x)1，求证： 01f(x)dx 201f3(x)dx。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是
5、符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 ，选 D 项。2 【正确答案】 C【试题解析】 逐一验证：对于 A 项，y=e x，e -1e，不满足 f(-1)=f(1)，选项B，y=1+x，在 x=0 处不可导，不满足，D 项 y=1- 在 x=0 处不连续，故排除，选 C 项。3 【正确答案】 B【试题解析】 令 g(x)=(x2-12)(x2-22)(x2-n2) f(x)=xg(x) f(x)=g(x)+xg(x) f(0)=g(0)+0=(-1)2(-2)2 (-n)2=(-1)n(n!)2 选 B 项。 注：本题用导数定义计算更方便!4 【正确答案】 B【试题解析】 (1) f(x
6、)= +2bx-3x，f(1)=0 ， a=3-2b。(2)f(2)=0， a=6-8b， 得 6b-3=0 得 b= 代入得 a=2 故 a=2，b= 。答案选 B 项。5 【正确答案】 D【试题解析】 (1)原式 -2f(x) 。(2)F(x)=e -2x，f(x)=(e -2x)=-2e-2x。(3) 原式=-2(-2)e -2x=4e-2x 选 D 项。6 【正确答案】 C【试题解析】 F(x)=ln 2x，f(x)=F(x)= ，xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)-f(x)dx=2lnx-ln2x+C，选 C 项。二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 x=0，y=1 ，e
7、xy(y+xy)+cos(x2y)(2xy+x2y)=3y2y代入得 1+0=3y(0)，所以 y(0)= 。8 【正确答案】 -4【试题解析】 由极值存在的必要条件知：y x=1=0，即 4+a=0，故 a=-4。9 【正确答案】 【试题解析】 。10 【正确答案】 【试题解析】 (ycosx)=1 ycosx=x+C y= 。11 【正确答案】 1【试题解析】 a(a+b)=aa+ab ，又 ab ab=0，aa=a 2=1，所以 a(a+b)=1+0=1。12 【正确答案】 直线 y=x【试题解析】 因为函数 y=2x 与 y=log2x 互为反函数，故关于直线 y=x 对称。三、解答题
8、解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 解：14 【正确答案】 解： 间断点为-1，1。f(-1-0)=-1，f(-1+0)=1 ，x=-1，第一类跳跃间断。f(1-0)=1，f(1+0)=-1，x=1 ，第一类跳跃间断。15 【正确答案】 解：16 【正确答案】 根据复合函数求偏导数法则，为方便表示令=2x+3y，=xy， =2f+yf。 2(f mn3+fmnx)+y(ymn3mnx)+f。因为二阶偏导在定义域内连续，所以 fmn=f”m，合并得 =6fmn+(2x+3y)fmn+xyfmn+f。17 【正确答案】 解：三直线所围区域如图，设其面积为 S(C)，则： 当-1C 时
9、S(C)0；当 C2 时，S(C)0，由极值点的唯一性知，当 x时，三直线所围图形面积最小。18 【正确答案】 解：因为 为奇函数， 为偶函数，所以原式19 【正确答案】 解：(y 2)+2xy2= ，令 u=y2，则 ，p=2x，q=，pdx=x 2，所以 ，则，其中 C 为任意常数。20 【正确答案】 解：原式四、综合题21 【正确答案】 解：根据题意画出图形：22 【正确答案】 解：本题为求函数 z=f(x，y)=x 2+y2-2x+2y+8 在条件 x+y-8=0 下的条件极值。方法一：用拉格朗日乘数法 总成本 f(x，y)=x 2+y2-2x+2y+8， 约束条件(x，y)=x+y-
10、8=0 ， 作辅助函数 F(x，y)=x 2+y2-2x+2y+8+(x+y-8)。 令解得 x=5，y=3 。 由于驻点(5，3)唯一，实际中确有最小值，所以当 x=5 千件， y=3 千件时 使总成本最小，最小成本为 f(5，3)=38 千元。方法二：化条件极值为无条件极值 总成本为 z=f(x，y)=x 2+y2-2x+2y+8， 约束条件 x+y-8=0， 将 y=8-x 代入 f(x，y)中，得 z=x 2+(8-x)2-2x+2(8-x)+8 =2x2-20x+88 zx=4x-20，令 zx=0，得 x=5。 因为 z”xx=40，所以 x=5 时 z 取极小值，又因为极值点唯一
11、，所以 x=5 时，z 取最小值，此时 y=3，故 x=5 千件，y=3 千件时，总成本最小，最小成本为：f(5，3)=38 千元。23 【正确答案】 解：设围成圆形的长度为 x，面积设为 S1，则围成正方形的长度为 a-x，而面积记为 S2，则 S(x)=S1(x)+S2(x)，(0xa)。，所以 x= 时，圆形面积与正方形面积之和最小。五、证明题24 【正确答案】 证明：首先证明不等式 0xf(t)dt20xf3(t)dt(0x1)。 令 F(x)=0xf(t)dt2-0xf3(t)dt， F(x)=2 0xf(t)dtf(x)-f3(x) =f(x)20xf(t)dt-f2(x)， 再令 (x)=20xf(t)dt-f2(x)则 (x)=2f(x)-2f(x)f(x) =2f(x)1-f(x)。 因为 f(0)=0，f(x)0，所以f(x)单增，当 x0 时，f(x)f(0)=0 。 又 0f(x)1，于是 (x)0，由此 (x)单增，当x0 时，(x)(0)=0 ， 所以又有 F(x)0，由此 F(x)单增，当 x0 时，F(x)F(0)=0，故 F(1)0， 从而有 01f(x)dx201f2(x)dx。
