1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 f(x)=xsin 在点 x=0 处( )（A）有定义但无极限（B）无定义但有极限值 0（C）无定义但有极限值 1（D）既无定义又无极限值2 若 F(X)在 X=a 处可导，则（A）mf(A)（B） nf(a)（C） (m+n)f(a)（D）3 设 f(x)的导函数连续，且 是 f(x)的一个原函数，则xf(x)dx=( )4 若 f(x)在-a，a连续，则 -aaxf(x)+f(-x)dx=( )（A）2 0axf(x)dx（B） 20axf(一 x)dx（C） 0（D）2
2、 0axf(x)+f(-x)dx5 向量 a=(1，一 4，1)与 b=(2，一 2，一 1)的夹角 为( )6 已知当 x0 时，x 2ln(1+x2)是 sinnx 的高阶无穷小，而 sinnx 又是 1-cosx 的高阶无穷小，则正整数 n=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题7 如果 在 x=0 处连续，那么 a=_8 9 点 M(2，一 3，4)到平面 3x+2y+z+3=0 的距离 d=_10 设函数 y=y(x)是由方程 ex 一 ey=sin(xy)确定，则 y|x=0=_11 函数 f(x)=arctanx 在 一 1，1上满足拉格朗日中值定理的点是_12 交
3、换积分次序 01dy f(x，y)dx=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 14 15 设 z=xy+ ，其中 f(u)为可微函数，求16 17 已知曲线 y=f(x)经过原点，并且在原点处的切线平行于直线 2x+y-3=0，若 f(x)=3ax2+b，且 f(x)在 x=1 处取得极值，试确定 a，b 的值，并求出函数 y=f(x)的表达式18 计算 ，其中 D：x 2+y21.19 求微分方程 y“一 2y一 3y=3x+1 的通解20 判断级数 的收敛区域四、综合题21 求：(1)函数的单调区间及极值；(2)函数凹凸区间及拐点；(3)渐近线22 某曲线在(x，y) 处的切线斜率
4、满足 y= ，且曲线通过(1，1) 点，(1)求y=y(x)的曲线方程； (2)求由 y=1，曲线及 y 轴围成区域的面积； (3)上述图形绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积五、证明题23 证明：当|x|2 时，|3xx 3|224 已知 f(x)有二阶连续导数，证明xf“(2x 一 1)dx=江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 无定义是显然的，因为极限 (无穷小乘以有界量仍是无穷小)2 【正确答案】 C【试题解析】 =(n+m)f(a)在这里函数值由 f(amh)变为 f(x+nh)，自变
5、量改变了(a+nh)一(a-mh) =(n+m)h，因此，相应地在分母的位置上构造出相同的自变量的改变量3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 是 f(x)的一个原函数，所以有 f(x)= 所以xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)一f(x)dx=4 【正确答案】 C【试题解析】 本题利用函数的对称性和奇偶性化简定积分计算，因为 xf(x)+f(一x)为奇函数，所以结果为 05 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 C【试题解析】 由已知， ，则 n4；又 sinnx 是 1-cosx的高阶无穷小，则 则 n2，所以 n=3，选 C 项二、填空题7 【正确答案】 0【试题解析】 8
6、 【正确答案】 tant【试题解析】 9 【正确答案】 【试题解析】 根据点 M(x1，y 1，z 1)到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离为10 【正确答案】 1【试题解析】 对方程两边求导得：e x 一 eyy=cosxy.xy，根据 x 的值求出 y 值，则可得出 y|x=0=111 【正确答案】 【试题解析】 设点 ，根据拉格朗日定理，则此点满足 f(1)一 f(一 1)=f()1 一(一1)，所以点 等于12 【正确答案】 1edx0lnx(x，y)dy【试题解析】 通过作图可得出结论三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】
7、 16 【正确答案】 17 【正确答案】 由“ 过原点的切线平行于 2x+y 一 3=0”，可知： f(x)| x=0=(3ax2+b)|x=0=一 2 得 b=一 2 “f(x) 在 x=1 处取得极值”(连续、可导)得 f(x)|x=1=(3ax2+b)|x=1=0得 a=23 f(x)=2x2-2 得 y=f(x)=(2x2-2)dx= 一 2x+C1，又 y(0)=0，得18 【正确答案】 19 【正确答案】 对应齐次方程的特征方程为 2 一 2 一 3=0，得 1=一 1， 2=3 于是对应齐次方程的通解为 =C1e-x+C2e3x (其中 C1，C 2 是任意常数) 因为 =0不是
8、特征根，所以可设方程的特解为 y*=Ax+B，将其代入原方程，得 A=一 1，B=故微分方程 y“一 2y一 3y=3x+1 的通解为20 【正确答案】 四、综合题21 【正确答案】 由 得函数的定义域为x|x R，且 x1)，y=令 y=0 得驻点 x=0，x=3，这里 x=1 不能算作不可导点，因为它不在定义域内 列表讨论(这里虽然不对 x=1 这点讨论，但是由于它是函数的间断点，把定义域分开了，所以在表中也单列出来)由上表可得单调递增区间为(一，1)，(3，+)；单调递减区间为(1，3)由 令 y“=0 得 x=0，这里同样 x=1 也不能算作二阶不可导点，因为它不在定义域内。由于只有一个二阶导数等于零的点，所以这里就不需要列表讨论了，简单叙述一下即可 因为当x0 时，y“ 0；x0 时， y“0，所以拐点为(0，0) 凹区间为(0，1)，(1，+)；凸区间为(一 ，0) 22 【正确答案】 五、证明题23 【正确答案】 令 f(x)=3xx3，x一 2，2，f(x)=33x 2=0，x=1，f( 一 1)= 2，f(1)=2，f(2)=一 2，f(一 2)=2；所以 fmin=一 2，f max=2，故一 2f(x)2，即|3x x3|224 【正确答案】
