1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 ，则常数 k 等于( )（A）1（B） 2（C） 4（D）任意实数2 下列命题中正确的是( )（A）若 x0 是 f(x)的极值点，则必有 f(x0)=0（B）若 f(x)在(a ，b) 内有极大值也有极小值，则极大值必大于极小值（C）若 f(x0)=0，则 x0 必是 f(x)的极值点（D）若 f(x)在点 x0 处可导，且点 x0 是 f(x)的极值点，则必有 f(x0)=03 下列极限存在的是( ) （A）（B）（C）（D）4 设 则 f(x)的间断点为( )（A）x=0（B
2、） x=1 （C） x=0 和 x=1 （D）不存在5 设 =( )（A）2（B） 7 （C） 1 2 （D）156 设平面 2x+5y+3z=3 与平面 x+ky 一 2z=10 垂直，则 k=( )（A）（B）（C）（D）二、填空题7 8 f(x)= 若 f(x)在 x=0 处连续，则 a=_9 设函数 的收敛区间为_10 曲线 y=cosx， 与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所成体积为_11 曲线 y=xlnx 的平行于直线 y=x+2 的切线方程为_12 设 则全微分 dz=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 若 f(x)在 x=0 处连续，求 a，b，c.14 求不定积
3、分x 2e-xdx15 16 求函数 (x0) 哪一点上的切线与直线 y=x 成 60角?17 u=f(x+y，x 2，ysinx)，求18 求微分方程 xy一 y=x2ex 的通解19 求级数 的和数20 当 k 为何值时，广义积分 收敛?当 k 为何值时，这个广义积分发散?又当 k 为何值时，广义积分取得最小值?四、综合题21 在直角坐标系的第一象限内作 4x2+y2=1 的切线，使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小，求切点坐标22 球23 设 (1)当 a 为何值时，f(x)在 x=0 点处连续；(2)当 a 为何值时，点 x=0 是 f(x)的间断点；(3) 当 a=2 时，求 f(x
4、)的连续区间五、证明题24 设 f(x)在0，1连续，且 f(x)1，又 F(x)=(2x 一 1)一 0xf(t)dt，证明 F(x)在(0，1)内有且仅有一个零点江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题意可知，x=2 时，x 2 一 3x+k=0 得 k=22 【正确答案】 D【试题解析】 根据极值存在的必要条件与充分条件3 【正确答案】 D【试题解析】 应选择 D.4 【正确答案】 C【试题解析】 的间断点为 x=0 和 x=1，应选择 C.5 【正确答案】 D【试题解析】 故选 D
5、.6 【正确答案】 C【试题解析】 两平面垂直时，两平面的法向量也垂直，所以 n1.n2=2，5，3).(1，k，一 2)=2+5k 一 6=0 解得 所以选择 C.二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 用洛必达法则进行计算8 【正确答案】 1【试题解析】 因为在 f(x)在 x=0 处连续，则9 【正确答案】 (一 2，4)【试题解析】 因级数 的收敛半径也为 3，所以收敛区间为(一 2，4)10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 y=x 一 1【试题解析】 因为切线方程平行于直线，所以其斜率为 k=112 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。
6、13 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(00)=f(0+0)=f(0)，得：b=ce -4=1 所以 c=e4 b=1，a 为任意实数14 【正确答案】 x 2e-xdx=一x 2d(e-x)=一 x2e-x+2xe-xdx=-x2e-x 一 2xd(e-x)=一 x2e-x 一2xe-x 一 2e-x+C15 【正确答案】 16 【正确答案】 设切线斜率为 k20，y=x 得 k1=117 【正确答案】 =f1+f22x+f3ycosx， =f11“+f13“sinx+2x(f21+f21“sinx)+cosx.f3+ycosx(f31“+f33“sinx)18 【正
7、确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 当 k1 时，即，当 k1 时，广义积分 收敛；当 k1 时，广义积分发散当kk 0 时，f(k)0，所以，当 k=k0= 时，广义积分取极小值，也就是最小值四、综合题21 【正确答案】 根据题意画出图形： 设切点为(X，Y)=由 4x2+y2=1 求导得：22 【正确答案】 23 【正确答案】 (1)f(x) 在点 x=0 处连续必须既左连续又右连续，所以有由得 a=1，即当 a=1 时，f(x) 在点 x=0 处连续(2)显然当 a0，a1 时，点x=0 是 f(x)的间断点(3)当 a=2 时，x=0 是 f(x)的间断点，所以 f(x)的连续区间(一，0)U(0，+) 五、证明题24 【正确答案】 f(x)在0 ，1 上连续， F(x)在0，1连续 又 F(0)=一 10，f(x)1，f()1，从而 F(1)0由零点定理知 F(x)在(0，1)内至少有一个零点又 F(x)=2 一 f(x)0，F(x)在0， 1上严格单调增加，所以 F(x)在(0，1) 内最多只有一个零点，从而 F(x)在(0，1)内有且仅有一个零点
