1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若 x0 时， 与 xsinx 是等价无穷小，则 a=( )（A）1（B）一 4（C） 4（D）32 下列函数中，在一 1，1上满足罗尔中值定理条件的是( )（A）（B） f(x)=x+5（C）（D）f(x)=x+13 设 I=01dy02yf(x，y)dx+ 13dy03-yf(x，y)dx，交换积分次序后 I=( )（A） 03dx03-xf(x，y)dy（B） 02dx03-xf(x，y)dy（C）（D）4 已知 ，则下列正确的是( )5 xyy=1，y(1)=1 的解是(
2、)（A）x（B） y2=2lnx+1（C） y2=lnx（D）y 2=x6 设 为正项级数，如下说法正确的是( )二、填空题7 则 a=_，b=_8 u=f(xy，x 2+2y2)，其中 f 为可微函数，则9 已知函数 f(x)=alnx+bx2+x 在 x=1 与 x=2 处有极值，则 a=_，b=_10 a，b 为两个非零矢量， 为非零常数，若向量 a+b 垂直于向量 b，则 等于_11 已知 f(cosx)=sin2x，则f(x 一 1)dx=_12 已知 f(x)= ，f(x)=1 一 x，且 (x)0，则 (x)的定义域为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设函数 f(x)
3、= 在 x=0 处可导，求 a、b 的值14 求极限15 求曲线 e2x+ycos(xy)=e 一 1 过点(0，1)的切线方程16 17 求 01xarcsinxdx18 求方程 y“+y一 2y=x2 的通解19 f(x)= 求 f“(x)20 已知四、综合题21 求 y=(x 一 1) 的极值与单调区间22 已知曲线 y=f(x)过原点且在点(x，y)处的切线斜率等于 2x+y，求此曲线方程23 某地域人口总数为 50 万，为在此地域推广某项新技术，先对其中 1 万人进行了培训，使其掌握此项新技术，并开始在此地域推广设经过时间 t，已掌握此新技术的人数为 x(t)(将 x(t)视为连续可
4、微变量 )，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，且比例常数为 k(k0)，求 x(t)五、证明题24 当 x0 时，证明25 设 F(x)是 f(x)的一个原函数， G(x)是 的一个原函数且 F(x)G(x)=一 1，f(0)=1，证明： f(x)=ex 或 f(x)=e-x江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 26 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时， ，xsinxx 2 于是，根据题设有故 a=一 42 【正确答案】 A【试题解析】 B、C 和 D 不满足罗尔定理的 f(a)=f(b)条件3
5、【正确答案】 C【试题解析】 通过图形得出结论4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 又因为f(1)=1 所以 1=2ln1+C，那么 C=1，所以 y2=一 2lnx+16 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 当 un 取 时，不对，排除 B 选项 0t不对，应是必收敛，D 仍然可用 条件收敛，且 是发散的，故排除，所以选 C二、填空题7 【正确答案】 一 4，3【试题解析】 并且 x2+ax+b=0，所以 a=一 4，b=38 【正确答案】 yf 1+2xf2【试题解析】 令 =xy， v=x2+y2，则 u=f(，v)，9 【正确答案】 【试题解析】 由题
6、意可知：10 【正确答案】 【试题解析】 a+b 垂直于向量 b,(a+b).b=011 【正确答案】 【试题解析】 f(cosx)=sin 2x=1 一 cos2x,f(x)=1 一 x2f(x 一 1)dx=1 一(x 一 1)2dx=12 【正确答案】 x0【试题解析】 于是 1 一x1，即 x0三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 f(x)在 x=0 处连续，f(x)=a，f(0 一 0)=1，f(0+0)=a，因为 f(00)=f(0+0)=f(0)所以 a=114 【正确答案】 15 【正确答案】 方程两端 y 对 x 求导： e 2x+y(2+y)+sin(x
7、y).(1+y)=0 将x=0，y=1 代入得 y=一 2， 所求切线方程为 y 一 1=一 2x，即 2x+y 一 1=016 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 对应的齐次方程的特征方程为 2+ 一 2=0，得 1=一 2， 2=1，于是对应的齐次方程的通解为 =C1e-2x+C2ex(其中 C1，C 2 是任意常数)，因为 =0 不是特征根，所以设特解为 y*=Ax2+Bx+C 代入原方程，得故原方程的通解为(其中 C1，C 2 是任意常数)19 【正确答案】 20 【正确答案】 四、综合题21 【正确答案】 (1)定义域 x(一 ，+)(3)可能的极值点令 y=0，得
8、驻点 y不存在，得 x=0(4)列表所以，函数在(一，0)、 内单调减少；函数在 x=0 点取到极大值y=0，在 处取到极小值22 【正确答案】 由题意得，y=2x+y，y(0)=0，则变为求一阶线性非齐次微分方程特解，上式化为标准形式，y一 y=2x，代入求解公式，得 y=e dx(ex-dt2xdx+C)=ex(2xe-xdx+C) =ex(一 2xde-x+C)=ex(一 2xe-x+2e-xdx+C) =ex(一 2xe-x-2e-x+C)=一2(x+1)+Cex 把 y(0)=0 代上式，可得 C=2 所以上述微分方程特解为 y=一 2x 一2+2ex，即为所求曲线方程23 【正确答
9、案】 令 y=x(t)，由题意 y=ky(50y) y(0)=1五、证明题24 【正确答案】 (1)变形： =ln(1+x)一 lnx，这是对数函数的增量形式令f(t)=lnt，tx，1+x(2)f(t)=lnt 在x，1+x 应用拉格朗日中值定理：ln(1+x) 一 lnx=25 【正确答案】 (1) F(x).G(x)=一 1，F(x)G(x)+F(x)G(x)=0(2)讨论，(i) 若 F(x)=f(x)，即lnf(x)=x+C1，f(x)=Ce x 由 f(0)=1，得 C=1 故有 f(x)=ex(ii)若 F(x)=一 f(x)，即 f(x)=一 f(x)lnf(x)=一 x+C2，f(x)=Ce -x 由 f(0)=1，得 C=1故有 f(x)=e-x 证毕
