1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 30 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知f(x)dx=e 2x+C，则f(-x)dx=( ) （A）2e -2x+C（B） e-2x+C（C） -2e-2x+C（D）- e-2x+C2 在下列极限求解中，正确的是( )3 下列级数中条件收敛的是( )4 曲线 y=x3-3x 在开区间(0，1)内为( )（A）单调上升，且上凹（B）单调下降，且下凹（C）单调上升，且下凹（D）单调下降，且上凹5 若直线 l 与 Ox 平行，且与曲线 y=x-ex 相切，则切点坐标为( )（A）(1 ，1)（B） (-1，1)（C） (0
2、，-1)（D）(0 ，1)6 f(x)= 且 f(x)在 x=0 处连续，则 a 的值为( ) （A）1（B） 0（C） 52（D）-二、填空题7 设 f(x)=(x500-1)g(x)，其中 g(x)在 x=1 处连续，g(1)=4，则 f(1)=_8 y=y(x)由 ln(x+y)=exy 确定，则 x=0 处的切线方程为_9 -11 (1+x3)dx=_10 11 若函数 f(x)= 为连续函数，则 a+b=_12 设函数 y=2x2ax+3 在 x=1 处取得极小值，则 a=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求 (1+xlnx)lnx 的极限14 求(2x-1)ln 2xd
3、x15 计算定积分16 17 解常微分方程：x +y=xy218 将函数 f(x)= 展开为 x 的幂级数，并指出收敛区间19 求过点(1 ，2，3) 且垂直于直线 的平面方程20 如图所示，D 为 x2+y2a2 与 x0 所围的区域，计算 x2y2dxdy四、综合题21 求函数 f(x)=x3-3x+1 的单调区间和极值21 已知一平面图形由抛物线 y=x2、y=-x 2+8 围成22 求此平面图形的面积；23 求此平面图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积23 已知某厂生产 x 件产品的成本 C=25000+200x+ x2(单位：元)试问：24 要使平均成本最小，应生产多少件产品?2
4、5 若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品?五、证明题26 当 x0 时，证明 成立27 设 F(x)是 f(x)的一个原函数， G(x)是 的一个原函数且 F(x)G(x)=-1，f(0)=1，证明：f(x)=e x 或 f(x)=e-x江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 30 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 原式两边分别求导得，f(x)=2e 2x，再两边求导，得 f(x)=4e2x，则 f(-x)=4e-2t f(-x)dx=4e -2xdx=-2e2xd(-2x)=-2e-2x+C 故选 C 项2
5、 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 为交错级数，且其通项的绝对值 趋于 0，据莱布尼兹准则知，它是收敛级数另外|a n|= 发散，据第一比较准则知|an|发散，故此级数条件收敛4 【正确答案】 D【试题解析】 当 0x1 时，y=3x 2-30，y“=6x0曲线单调下降，且上凹，故选 D 项5 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意得：y=(1-e x)=0 x=0，代入得 y=-16 【正确答案】 C【试题解析】 使用洛必达法则可知： 根据 f(x)在 x=0 处连续，可知 a=-二、填空题7 【正确答案】 2000【试题解析】 = 4(因为 g(x)在 x=1
6、 处连续且 g(1)=4)=20008 【正确答案】 y-e=(e 2-1)x【试题解析】 由 ln(x+y)=exy，得 (1+y)=exy(y+xy)，x=0，y=e， (1+y)=e，k=y(0)=e 2-1，所以方程为：y-e=(e 2-1)x9 【正确答案】 613【试题解析】 -11 (1+x3)dx=-11x13 dx+-11x103 dx= 10 【正确答案】 1【试题解析】 11 【正确答案】 1【试题解析】 b=-1，所以 a+b=112 【正确答案】 -4【试题解析】 由极值存在的必要条件知：y| x=1=0，即 4+a=0，故 a=-4三、解答题解答时应写出推理、演算步
7、骤。13 【正确答案】 因为 (-x)=0，所以所以原式=e 0=114 【正确答案】 (2x-1)ln 2xdx=ln2xd(x2-x)=(x2-x)ln2x-2(x2-x) lnxdx=(x2-x)ln2x-2(x-1)lnxdx=(x2-x)ln2x-2lnxd( -x)=(x2-x)ln2x-2( dx=(x2-x)ln2x-(x2-2x)lnx+ x2-2x+C15 【正确答案】 利用定积分换元法，被积函数中有 ，令 x=sint，则16 【正确答案】 17 【正确答案】 令，q=-1p(x)dx=- dx=-lnx，q(x)e p(x)dxdx=-1 dx=lnx，z=(lnx+C
8、)e lnx=(lnx+C)x，所以 y=18 【正确答案】 19 【正确答案】 由题意所求平面的法向量为：n=(1，1，1)(2 ，-1，1)= =(21-3) 根据点法式，所求平面方程为 2(x-1)+y(-2)-3(z-3)=0，即2x+y-3x+5=020 【正确答案】 x2y2dxdy= d0ar2cos2r 2sin2rdr= cos2sin2d= (cos2-cos4)d= (I2-I4)=四、综合题21 【正确答案】 函数的定义域为(-，+) ，f(x)=3x 2-3，令 f(x)=0，得驻点 x1=-1，x 2=1，列表得：函数 f(x)的单调增区间为(-，-1) 和(1，+
9、)，单调减区间为-1，1f(-1)=3 为极大值，f(1)=-1 为极小值22 【正确答案】 用定积分求面积和体积，如图， 所围平面图形的面积为 S=-22(8-x2-2x2)dx=64323 【正确答案】 此平面图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积为 V=04( )2dy+48( )2dy=1624 【正确答案】 设平均成本为 y，则 y= (25000+200x+ x2)，y=- ，令 y=0，得 x=10000，此即为所求25 【正确答案】 设利润为 L，则 L=500x-(25000+200x+ x2)，L=500-200- x令L=0，得 x=6000，此即为所求五、证明题26 【
10、正确答案】 (1)变形：ln(1+ )=ln(1+x)-lnx，这是对数函数的增量形式令 f(t)=lnt，tx ，1+x (2)f(t)=lnt 在x，1+x应用拉格朗日中值定理：ln(1+x)-lnx= (x+1-x)， 故有(x0)证毕。27 【正确答案】 (1) F(x)G(x)=-1，F(x)G(x)+F(x)G(x)=0f(x)G(x)+F(x)=0f(x) =0F 2(x)=f2(x)(2)讨论，(i)若 F(x)=f(x)，即 f(x)=f(x)， =1lnf(x)=x+C1，f(x)=Ce x 由 f(0)=1，得 C=1 故有 f(x)=ex(ii)若 F(x)=-f(x)，即 f(x)=-f(x)lnf(x)=-x+C 2，f(x)=Ce -x由 f(0)=1，得 C=1故有 f(x)=e-x 证毕
