1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 32 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 在下列极限求解中，正确的是( )2 设 y=f(x)可导，则 f(x-2h)-f(x)等于( )（A）f(x)h+o(h)（B） -2(x)h+o(h)（C） -f(x)h+o(h)（D）2f(x)h+o(h)3 设函数 f(x)的一个原函数为 sin2x，则y(2x)dx=( )（A）cos4x+C（B） cos4x+C（C） 2cos4x+C（D）sin4x+C4 设二重积分的积分域 D 是 x2+y21，则 (1-x2-y2)dxdy 等于( )（A）2（B） 4（C） 3（
2、D）55 在区间-1， 1上，不满足罗尔定理的函数是( )6 在空间坐标系中，下列为平面方程的是( )（A）y 2=x（B）（C）（D）3x+4z=0二、填空题7 8 设 f(x)为连续奇函数，则 f(0)=_9 10 已知( )=3，|a|=4，|b|=5 ，则|a+b|=_ 11 若直线 y=5x+m 是曲线 y=x2+3x+2 的一条切线，则常数 m=_12 z= (0rR)的定义域是_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 已知 F(x)在 0 点连续，F(x)是 f(x)+2sinx 在 0 处的导数并且 f(x)连续在 0 处导数为 f(0)=6，求 F(x)14 计算 0x
3、2x2cosxdx15 求 a+16 设 f(x)= x-cos2x，求 f(x)的极值17 求微分方程 yy“-y2=0 的通解18 若 z=z(x，y)是由方程 x2+y2+z2=3xyz 所确定的隐函数，求19 求 (2x+1)n 的收敛半径和收敛域20 平面 通过直线 且垂直于平面 x+2y+3z=1，求平面 的方程四、综合题21 求出满足下列条件的最低次多项式：当 x=1 时有极大值 6，当 x=3 时有极小值222 设曲线 y= ，过曲线(2，2) 点处的切线与曲线 y= 及 y 轴所围成平面图形的面积，并求出平面图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积五、证明题23 证明：当|x|1 时
4、，则|4x-x 4|5 成立江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 32 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 根据洛必达法则可知=-1，2 【正确答案】 B【试题解析】 =-2f(x)3 【正确答案】 A【试题解析】 根据函数的定义，f(x)=F(x)=(sin2x)=2cos2x ，f(x)=-4sin2x，f(2x)=-4sin2x，所以f(2x)dx=-4sin4xdx=cos4x+C。4 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域 D 如图所示：0r1，02 所以 (1-x2-y2)dxdy= (1-r2)rdrd=02d01(r
5、-r3)dr=25 【正确答案】 C【试题解析】 罗尔定理必须满足下列条件：函数 f(x)在a，b 上连续，在(a，b)内可导，并且 f(x)在区间端点的函数值相等6 【正确答案】 D【试题解析】 平面方程一般式：Ax+By+Cz+D=0 故选 D 项另外：A 项：y 2=x 是一条抛物线 B 项： 是两条平面正交线，显然是一空间直线 C 项：是空间直线方程的一般式二、填空题7 【正确答案】 32【试题解析】 原式=328 【正确答案】 0【试题解析】 (1) f(x)为奇函数， f(-x)=-f(x)，(2) -f(x)，又 f(x)在 x=0 连续， f(0)=-f(0)，故 f(0)=0
6、9 【正确答案】 43【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 |a+b| 2=(a+b)(a+b)=|a| 2+|b|2+2|a|b|cos( )=16+25+220 =61 故|a+b|=11 【正确答案】 1【试题解析】 由已知，切线斜率 k=yt=2x+3=5，解得 x=1，代入曲线方程得 y=6， 即切点坐标为(1，6) ，代入切线方程 y=5x+m，解得 m=112 【正确答案】 D=(x ，y)|r 2x 2+y2R 2【试题解析】 定义域 D=(x，y)|r 2x 2+y2R 2三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 =f(0)+2=6+2=814 【正
7、确答案】 原式= 02 x2dsinx=x2sinx|02 -202 xsinxdx= +202 xdcosx= +2xcosx|02 -202 cosxdx= -215 【正确答案】 令 x=atant，dx=a dt，当 x=+时，t=2，所以原式=16 【正确答案】 f(x)= 则：2x=-+k(kZ)f“(x)=4cos2x，f“(-0故当 x=- +k 时取得最小值，且 f 最小值 =17 【正确答案】 设 y=p，则 y“=p ，代入微分方程 yy“-y2=0 得：yp =p2，即p=0 或 y =p，由 p=0 得 y=C1；由 y =C2，所以 y=C2 (其中 C，C 2为任
8、意常数)，综上所述，y=C 218 【正确答案】 根据方程 x2+y2+z2=3xyz，两边对 x 求导：19 【正确答案】 令 y=2x+1，原级数= yn，R y=1，R x= 当 y=1 时，发散；当 y=-1 时， 收敛，所以 y 的收敛区间为-1，1)，相应的 x 的收敛区间为-1， 0)20 【正确答案】 设 方程为 (x-2y+z-1)+(2x-y+2z-1)=0，即：(1+2)x+(-2-)y+(1+2)z+(-1-)=0，那么 n=1+2，-2-，1+2，由于 垂直于 x+2y+3z=1，所以(1+2)+2(-2-)+3(1+2)=0 =0，即平面 的方程为 x-2y+z=1
9、四、综合题21 【正确答案】 对于多项式有两个极值，则该多项式的最低次数为三次不妨设所求多项式为 y=ax3+bx2+cx+d，则 y=3ax2+2bx+c，因为当 x=1 时有极大值 6，当x=3 时有极小值 2，所以 y(1)=6，y(3)=2，y(1)=0 ， y(3)=022 【正确答案】 由 y= ，则在(2，2)点处的切线的斜率为 k=y(2)=12于是切线的方程为 y-2= (x-2)，即 y= x+1所求面积 S=02(+x- )|02=13也可以这样写 S=(红色为梯形面积)所求体积为 V=02(也可以这样写 V= (12+12+2 2)2- 02( -2x|02= -(红色为圆台体积)注：圆台体积公式为 V= (R2+rR+r 2)h五、证明题23 【正确答案】 令 f(x)=4x-x4，则 f(x)=4x3=0，x=1 所以 f(-1)=-4-1=-5，f(1)=4-1=3 故 fmax(x)=3，f min(x)=-5，所以-5f(x)3 那么|4x-x 4|5 成立
