1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 33 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 （A）14（B） 12（C） 2（D）42 要使 f(x)=ln(1+kx)mx 在点 x=0 处连续，应给 f(0)补充定义的数值是( )（A）km（B） km（C） lnkm（D）e km3 设 f(x2)=x4+x2+1，则 f(1)=( )（A）1（B） 3（C） -1（D）-34 已知 f(x)=(x-3)(x-4)(x-5)，则 f(x)=0 有( )（A）一个实根（B）两个实根（C）三个实根（D）无实根5 已知 f(x)的一个原函数为 cosx，g(x)的一个原函数为
2、 x2，则 fg(x)的一个原函数为( )（A）x 2（B） cos2x（C） cos2（D）cosx6 设 e-x 是 f(x)的一个原函数，则xf(x)dx=( )（A）e -x(x+1)+C（B） -e-x(x+1)+C（C） e-x(1-x)+C（D）e -x(x-1)+C二、填空题7 8 f(x)= 若 f(x)在 x=0 处连续，则 a=_9 设函数 anxn 的收敛半径为 3，则级数 nan(x-1)n+1 的收敛区间为_10 曲线 y=cosx，x- 与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所成体积为_11 曲线 y=xlnx 的平行于直线 y=x+2 的切线方程为_12 设 z=
3、xy，则全微分 dz=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设 y=xtanx，求 y14 分析 f(x)= 的间断点，并指明其类型15 16 设 z=f(2x+3y，xy)其中 f 具有二阶连续偏导数，求17 在-1 和 2 之间求值 C，使 y=-x，y=2x ，y=1+Cx 所围图形面积最小18 求 -11( )dx19 求 2xy+2xy2=x 的通解20 计算二重积分 dxdy，其中 D 是第一象限内圆 x2+y2=2x 及直线y=0 所围成的区域四、综合题20 设函数 y=f(x)满足方程 xy+y=x，且 f( )=021 求 f(x)；22 求 f(x)的单调增加区间2
4、3 某公司年产量为 x 百台机床，总成本为 C 万元，其中固定成本为 2 万元，每产1 百台增加 1 万元，市场上每年可销售此商品 4 百台，其销售总收入 R(x)(单位：万元)是 x 的函数，R(x)= 问每年生产多少台利润最大?24 f(x)= 若 f(x)在 x=0 处连续，求 k，a 的值五、证明题25 证明函数 f(x)= 在 x=0 处连续，在 x=0 处不可导26 证明：当 x-1 时，江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 33 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 令2=122 【正确答案】 A【试题解析】 =lnek
5、m=km，f(0)=km，选 A 项3 【正确答案】 C【试题解析】 (1) f(x2)=(x2)2+x2+1， f(x)=x 2+x+1 (2)f(x)=2x+1，f(-1)=-2+1=-1， 选 C 项4 【正确答案】 B【试题解析】 (1) f(x)在3，4连续在(3，4)， 可导且 f(3)=f(4)=0， f(x)在3，4满足罗尔定理条件， 故有 f(1)=0(3 14) (2) 同理 f(x)在4，5满足罗尔定理 有f(2)=0，4 25 综上所述，f(x)=0 在(3，5) 至少有两个实根 (3)f(x)=0 是一元二次方程，至多有两个根，故选 B 项5 【正确答案】 B【试题解
6、析】 (1) f(x)=(cosx)=-sinx，g(x)=(x 2)=2x， fg(x)=-sin2x (2)(cos 2x)=2cosx(-sinx)=-sin2x， 选 B 项6 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)=e -x， f(x)=F(x)=-e-x， 原式=xdF(x)=xF(x)-F(x)dx=xe -x-e-x=dx=(x+1)e-x+C 选 A 项二、填空题7 【正确答案】 328 【正确答案】 1【试题解析】 因为在 f(x)在 x=0 处连续，则9 【正确答案】 (-2，4)【试题解析】 因级数 anxn 收敛半径为 3，易知级数 nan(x-1)n+1 的收敛半径
7、也为3，所以收敛区间为(-2，4) 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 y=x-1【试题解析】 因为切线方程平行于直线，所以其斜率为 k=112 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 y=x tanx= =etanxlnxy=etanxlnx(sec 2xlnx+tanx )=xtanx()14 【正确答案】 间断点为-1，1f(-1-0)=-1，f(-1+0)=1 ，x=-1 ，第一类跳跃间断f(1-0)=1，f(1+0)=-1，x=1 ，第一类跳跃间断15 【正确答案】 16 【正确答案】 根据复合函数求偏导数法则，为方便表
8、示令=2x+3y，v=xy， =2f+yfv。 =2(fmn3+f mnx)+y(y mn3 mn?x)+fv因为二阶偏导在定义域内连续，所以 fmn=f“m，合并得 =6fmn+(2x+3y)fmn+xyfmn+fv。17 【正确答案】 三直线所围区域如图，设其面积为 S(C)，则：当-1C 12 时 S(C)0；当 12C2 时，S(C)0，由极值点的唯一性知，当x=12 时，三直线所围图形面积最小18 【正确答案】 因为 为偶函数，所以原式=2 01=ln(1+x2)|01=ln219 【正确答案】 (y 2)+2xy2=x ，令 u=y2，则 ，pdx=x2，所以q(x)e pdxdx
9、=e x2，则 u=，其中 C 为任意常数20 【正确答案】 原式= 02 d02cos(1-r)rdr=02 ( r3|02cosd=02 (2cos2-cos3)d=02 (1+cos2)d- 02 (1-sin2)dsin四、综合题21 【正确答案】 经整理得一阶线性微分方程 y+ y=1，把 f( )=0 代入上式，=0，得 C=-1，所以 y=f(x)=22 【正确答案】 y= 0，函数 f(x)的单调增加区间为(-，0)(0，+)23 【正确答案】 设每年的产量为 x 百台时利润为 y 万元则 y=R(x)-C(x)=令 y=0 得 x=3计算y(0)=-2，y(3)=52，y(4
10、)=2故每年生产 3 百台时利润最大为 y(3)=52 万元24 【正确答案】 根据连续的条件： f(x)=f(0)，=2e0=2，所以 f(x)=2五、证明题25 【正确答案】 因为 =0，所以 =0，又 f(0)=0，所以函数 f(x)在 x=0 处连续因为，所以函数 f(x)在 x=0 处不可导26 【正确答案】 令 F(x)=lnx- ，显然，F(x) 在(0，+)上连续由于 F(x)=0，故 F(x)在(0，+) 上单调递增，于是，当 0x1 时，F(x)F(1)=0，即 lnx ，又(x 2-1)lnx(x-1) 2，故(x 2-1)lnx(x-1) 2 当 x1 时，F(x)F(1)=0，即 lnx ，又 x2-10，故(x 2-1)lnx(x-1)2综上所述，当 x0 时，总有(x 2-1)lnx(x-1)2
