1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 34 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 （A）12（B） 2（C） 3（D）132 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 dx=( )3 f(x0)，则 k 的值为( )（A）1（B） 43（C） 13（D）-24 下列无穷积分收敛的是( )5 设 y=f(x)为a ，b 上的连续函数，则曲线 y=f(x)， x=a，x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形面积为( ) （A） abf(x)dx（B） |abf(x)dx|（C） ab|f(x)|dz（D）- abf(x)dx6 y= 的间断点有( ) （A）一个（B）两个
2、（C）三个（D）0 个二、填空题7 微分方程 y“+y=0 满足 y|x=0=0，y| x=0=1 的解是_ 8 若 f(2)=2，则 =_9 过点 P(1，2，3)且与直线 平行的直线方程为 _10 -11( +sinx)dx=_11 已知 x0 时，a(1-cosx)与 xsinx 是等级无穷小，则 a=_12 交换二重积分的次序： -10dx f(x，y)dy=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 14 设 y=y(x)由方程 1-y+xey=0 确定，求 |x=015 计算不定积分arctan dx16 计算定积分 0x2cos2xdx17 求过点 M(2，2，1)且与平面 ：
3、2x-y+z-3=0 平行，又与直线 L：垂直的直线方程18 设 z=f(sinx，cosy，e x+y)，其中 f 有二阶连续偏导数，求19 求幂级数 的收敛半径与收敛区间20 计算二重积分 (x+y)d，其中 D：x 2+y22x四、综合题21 设函数 g(x)= 问 g(x)是否有间断点、不可导点?若有请指出22 某厂生产某产品，年产量为 x(百台)，总成本 C(万元)，其中固定成本为 2 万元，每产 1 百台成本增加 1 万元，市场上每年可销售此种产品 4 百台，其销售总收入R(x)是 x 的函数，R(x)= 问每年生产多少台时总利润最大?22 设有抛物线 y=4x-x2，23 抛物线
4、上哪一点处的切线平行于 x 轴?写出该切线方程24 求由抛物线与其水平切线及 y 轴围成的平面图形面积25 求该平面图形绕轴旋转所成的旋转体体积五、证明题26 设 f(x)在0，1连续，且 f(x)1，又 F(x)=(2x-1)-0xf(t)dt，证明 F(x)在(0，1)内有且仅有一个零点江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 34 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 用变量代换求极限，令 x3=t2， x= ，x0 时，t0，2=3，故选 C 项2 【正确答案】 B【试题解析】 )+C 故答案为 B 项3 【正确答案】 B【试题解
5、析】 根据结论：k=434 【正确答案】 B【试题解析】 e+ ln2x，当 x+，时， ln2x，广义积分发散 e+0，广义积分收敛 e+ =lnlnx，当x+时，lnlnx，广义积分发散 e+ ，广义积分发散5 【正确答案】 C【试题解析】 对于在a，b上函数 f(x)有时取正值，有时取负值，所以求面积时f(x)要带上绝对值6 【正确答案】 B【试题解析】 其定义域为 x3，间断点为 x=4，x=5 二、填空题7 【正确答案】 y=sinx【试题解析】 y“+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx 由题意得：C 1=0，C 2=1，所以方程的解为：y=sinx8 【正确答案】 -
6、12【试题解析】 =-6f(x)=-129 【正确答案】 【试题解析】 设所求的直线为 l，其方向向量为 ，已知直线的方向向量取为n1n2=1，-2，33，1，-2=1，11，7，因为两直线平行，故 =1，11，7直线方程为10 【正确答案】 0【试题解析】 -11( +sinx)dx=-11 dx+-11sinxdx11 【正确答案】 2【试题解析】 由题意 a=1，所以 a=212 【正确答案】 01dy f(x，y)dx三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 代入 x=0，得 y=0，即 y(0)=1原方程两边同时关于 x 求导得-y+ey+xeyy
7、=0代入 y(0)=1，得 y(0)=e，即 dydx| x=0=e方程两边继续关于 x 求导得-y“+e yy+(ey+xeyy)y+xeyy“=0，代入 y(0)=1、y(0)=e，得 y“(0)=2e2，即|x=0=2e215 【正确答案】 令 =t，则 x=t2，于是arctan dx=arctantdt2=t2arctant- dt=t2arctant- dt=t2arctant-t+arctant+C=xarctan +C=(x+1)arctan +C，本题还可以令arctan =t16 【正确答案】 17 【正确答案】 由已知可得平面 和直线 L 的法向量和方向向量分别为 n0=
8、(2，-1，1)， s0=(1，3，1)取所求直线的方向向量为 s=s0n0= =(4，1，-7)，所以所求直线的方程为18 【正确答案】 =f1cosx+f 20+f 3e x+y=f1cosx+ex+yf3 =cosxf“110+f“ 12(-siny)+f“13 ex+y+ex+yf3+ex+yf“310+f“ 32(-siny)+f“ 33e 2(x+y)=-f“12sinycosx+ex+yf“13cosx+f3-ex+yf“32siny+e2(x+y)f3319 【正确答案】 因为 = ，所以 R=3，则-3x-2 3，即-1 x5当 x=-1 时， (收敛莱布尼茨定理)；当 x=
9、5 时， (发散调和级数)所以收敛区间为-1，5)20 【正确答案】 本题利用极坐标，令 则 r22rcos，即 r2cos 由x2+y22x，得 (x-1)2+y21，则区域 D 如图显然区域 D 是关于 X 轴对称的，所以yd=0四、综合题21 【正确答案】 g(-1)=-1，g(x) 在 x=-1 处连续 g(8)=2， g(x)在 x=8 处连续x=-1 是 g(x)的不可导点 x=8 是g(x)的可导点于是知 g(x)在(- ，+)内连续，没有间断点；x=-1 是 g(x)的不可导点22 【正确答案】 设销售量为 x 百台，c(x)=2+x，则利润函数 L(x)=R(x)-c(x)=
10、所以 L(x)= 由 L(x)=0，得 x=3计算 L(0)=-2，L(3)=9- -2=25，L(4)=2，L(+)=- 由此可得：Lmax=25=L(3)，所以每年生产 3 百台时总利润最大23 【正确答案】 y=4x-x 2，y=4-2x 要切线平行于 x 轴，令 y=4-2x=0，得 x=2，代入 y=4x-x2 得 y=4，故抛物线 y=4x-x2 上(2，4) 处的切线平行于 x 轴，该切线方程为y=424 【正确答案】 由抛物线与其水平切线 y=4 及 y 轴围成的平面图形面积为A=024-(4x-x2)dx=(4x-2x2(4x-2x2+ x3)|02=83，或 A=04(2-(4-y)32 |04=8325 【正确答案】 该平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积为 Vx=0242-(4x-x2)2dx= 该平面图形绕 y 轴旋转所成的旋转体体积为 Vy=042-五、证明题26 【正确答案】 f(x)在0 ，1 上连续， F(x)在0，1连续又 F(0)=-10，F(1)=1-01f(t)dt 1-f()， (0，1)f(x)1，f() 1，从而 F(1)0由零点定理知F(x)在(0 ，1)内至少有一个零点又 F(x)=2-f(x)0，F(x) 在0，1上严格单调增加，所以 F(x)在(0，1) 内最多只有一个零点，从而 F(x)在(0，1)内有且仅有一个零点
