1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 42 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知 f(x)=2|x|，则 f(0)=( )（A）2 |x|ln2（B） 2xln2（C） 2-x1n2（D）不存在2 下列积分收敛的是( ) 3 下列极限中正确的是( ) 4 y=xx，则下列正确的是( )（A）y=xx x-1（B） dy=xxlnxdx（C） y=xx(lnx+1)（D）y=x xdx5 与平面 x+y+z=1 平行的直线方程是( )（A）（B） x-1=y-1=z-2（C）（D）x-2y+z=36 下列哪个结论是正确的( )二、填空题7 若 f(x)=A，
2、且 f(x)在 x=x0 处有定义，则当 A=_时，f(x)在 x=x0 处连续8 y=1+ 的水平渐近线是_，垂直渐近线是_9 a2a dx=_10 设向量 a=(2，4，-5) ，b=(2 ，3，k)，若 a 与 b 垂直，则 k=_11 二次积分 01dx 4xdy=_12 交换积分的次序： 1edx0lnxf(x，y)dy=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设函数 y=y(x)由方程 ex-ey=xy 确定，求 |x=014 y=(1-x2)cosx，求 y(n)15 16 计算定积分 dx17 计算 01dy dx18 求微分方程 x2y=xy-y2 的通解19 z=f(
3、x2-y2，xy)，求19 已知 f(x)=20 f(x)在 x=0 处连续，求 a；21 求 f(x)四、综合题22 求 y=(x-1) 的极值与单调区间23 已知曲线 y=f(x)过原点且在点(x，y)处的切线斜率等于 2x+y，求此曲线方程24 某地域人口总数为 50 万，为在此地域推广某项新技术，先对其中 1 万人进行了培训，使其掌握此项新技术，并开始在此地域推广，设经过时间 t，已掌握此新技术的人数为 x(t)(将 x(t)视为连续可微变量 )，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，且比例常数为 k(k0)，求 x(t)五、证明题25 证明曲线 上任意一点的切线所截
4、两坐标轴的截距之和等于 a(a 0)江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 42 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D2 【正确答案】 B3 【正确答案】 C4 【正确答案】 C5 【正确答案】 C6 【正确答案】 C二、填空题7 【正确答案】 f(x 0)【试题解析】 根据连续的定义， f(x)=f(x0)，所以 A=f(x0)时，f(x)在 x=x0 处连续8 【正确答案】 y=1，x=1【试题解析】 y=1 是其水平渐近线 x=1 是其垂直渐近线9 【正确答案】 【试题解析】 设 x=aseet，dx=asecttantdt，换限：当 x=a
5、 时，t=0 ；当 x=2a 时，t=3，于是a2a sin2tcostdt= 03 sin2td(sint)=10 【正确答案】 165【试题解析】 ab ab=0 11 【正确答案】 1【试题解析】 01dx 4xdy=01(4xy) dx=x4|01=112 【正确答案】 01dy f(x，y)dx【试题解析】 画出积分区域 D：1xe，0ylnx，见图改写 D：0y1，e yxe 便得原式= 01dy f(x，y)dx三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 方程 ex-ey=xy，两边对 x 求导数得 ex-eyy=y+xy，故|x=0=-214 【正确答案】 y (
6、n)=(1-x2)(cosx)(n)+Cn1(1-x2)(cosx)(n-1)+Cn2(1-x2)“(cosx)(n-2)=(1-x2)cos(x+ =1-x2+n(n-1)cos(x+)15 【正确答案】 设 t=1 x，则原式= dt=-(t4-t2+1-t3-t+arctant+C=- +C16 【正确答案】 设 t=-x，所以原式=17 【正确答案】 01dy y 2dy=01ysinydy=-01ydcosy=-ycosy|01+01cosydy=-cos1+siny|01=sin1-cos118 【正确答案】 将原方程变形为：y= ，令 p=yx，则 y=p+xp，代入原方程得：x
7、p=-p 2，分离变量得- dx，两边积分，得 1p=ln|x|+C ，即y=19 【正确答案】 =f12x+f 2y =2xf11(-2y)+f 12x+f 2+yf“21(-2y)+f“22 x=-4xyf“11+2x2f“12+f2-2y2f“21+xyf“2220 【正确答案】 a= =021 【正确答案】 x0，f(x)=当 x=0 时，f(0)=四、综合题22 【正确答案】 (1)定义域 x(-，+)(2)y= (3)可能的极值点令 y=0，得驻点 x=25y不存在，得 x=0(4)列表所以，函数在(-，0)、 (25，+)内单调增加，在 (0，25)内调减少；函数在 x=0 点取
8、到极大值y=0，在 x=25 处取到极小值 y=-23 【正确答案】 由题意得，y=2x+y ，y(0)=0，则变为求一阶线性非齐次微分方程特解，上式化为标准形式，y-y=2x，代入求解公式，得 y=e dx(ex-dt2xdx+C)=ex(2xe-xdx+C) =ex(-2xde-x+C)=ex(-2xe-x+2e-xdx+C) =ex(-2xe-x-2e-x+C)=-2(x+1)+Cex 把 y(0)=0 代上式，可得 C=2 所以上述微分方程特解为 y=-2x-2+2ex，即为所求曲线方程24 【正确答案】 令 y=x(t)，由题意 y=ky(50-y)y(0)=1)dy=50kdtlny-ln(50-y)=50kt+C，ln =50kt+C 当 t=0 时，C=-ln49 ，特解为 ln =50kt-ln49五、证明题25 【正确答案】 方程两端 y 对 x 求导有 y=0，所以 y=- 过点(x，y)的切线方程为 Y-y=- (X-x)，这里(X ，Y)为切线上点的流动坐标令 X=0得切线在 y 轴上的截距为 Y=y+ 令 Y=0 得切线在 x 轴上的截距为 X=x+ 所以两截距和为 x+2 )2=a，故得证
