1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 47 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若 x0 时， 与 xsinx 是等价无穷小，则 a=( )（A）1（B）一 4（D）32 下列函数中，在一 1，1上满足罗尔中值定理条件的是( )（A）（B） f(x)=x+5（C）（D）f(x)=x+13 设 I=01dy02y(x，y)dx+ 13dy03-yf(x，y)dx，交换积分次序后 I=( )（A） 03dx03-xf(x，y)dy（B） 02dx03-xf(x，y)dy（C）（D）4 已知 ，则下列正确的是( )（A）（B）（C）（D）5 xyy=1，y(1)=1
2、 的解是( )（A）x（B） y2=2lnx+1（C） y2=lnx（D）y 2=x6 设 为正项级数，如下说法正确的是( )（A）若 必收敛（B）若 必收敛（C）若 必定收敛（D）若如果 必定收敛二、填空题7 设 f(x)=(x500 一 1)g(x)，其中 g(x)在 x=1 处连续，g(1)=4，则 f(1)=_8 y=y(x)由 ln(x+y)=exy 确定，则 x=0 处的切线方程为_9 =_。10 =_.11 若函数 为连续函数，则 a+b=_12 设函数 y=2x2+ax+3 在 x=1 处取得极小值，则 a=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求 的极限14 求(2x
3、 一 1)ln2xdx15 计算定积分16 已知17 解常微分方程：18 将函数 展开为 x 的幂级数,并指出收敛区间.19 求过点(1 ，2，3) 且垂直于直线 的平面方程20 如图所示，D 为 x2+y2a2 与 x0 所围的区域，计算 .四、综合题21 A 点(1 ，1)为 y=x2 上一点，过点 A 的切线为 l求 l，y=x 2 与 x 轴所围图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积 4922 设函数 f(x)=ax2+bx2+cx 一 9 具有如下性质； (1)在点 x=一 1 的左侧临近单调减少； (2)在点 x=一 1 的右侧临近单调增加； (3)其图形在点(1 ，2)的两侧凹凸性
4、发生改变试确定 a，b，c 的值23 已知某厂生产 x 件产品的成本为 ，产品产量 x 与价榴 P 之间的关系为： 求：(1)要使平均成本最小，应生产多少件产品?(2)当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润五、证明题24 证明：当x2 时，3xx 3225 已知 f(x)有二阶连续导数，证明江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 47 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x=0 时， ，xsinxx 2 于是，根据题设有故 a=一 42 【正确答案】 A【试题解析】 B、C 和 D 不满足罗尔定理的 f(a)=f(
5、b)条件3 【正确答案】 C【试题解析】 通过图形得出结论4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 又因为 f(1)=1 所以 1=21n1+C，那么 C=1所以 y2=2lnx+1.6 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 当 u0 取 时，不对，排除B 选项。t不对，应是11， 必收敛，D 仍然可用 条件收敛，且 是发散的，故排除，所以选 C.二、填空题7 【正确答案】 2000【试题解析】 8 【正确答案】 ye=(e 21)x【试题解析】 9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 1【试题解析】 11 【正确答案】 1【试题解析】 12 【正确答案
6、 一 4【试题解析】 由极值存在的必要条件知：y x=0=0，即 4+a=0，故 a=一 4三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 因为 所以14 【正确答案】 15 【正确答案】 利用定积分换元法，被积函数中有16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 由题意所求平面的法向量为：根据点法式，所求平面方程为 2(x1)+y(一 2)一 3(z 一 3)=0，即 2x+y 一 3z+5=020 【正确答案】 四、综合题21 【正确答案】 设 A 点坐标为(x，x 02)，由 y=2x，得切线方程为 yx02=2x0(xx0)或 由已知 所以
7、 x0=1，过点A(1，1)的切线方程为 2xy 一 1=0切线与 x 轴交点为 于是22 【正确答案】 由题意，得 f(一 1)=0，驻点为(一 1，0)，f(1)=0，点(1，0)为拐点，f(1)=2，分别代入方程 f(x)=3ax2+2bx+c,f(x)=6ax+2b，f(x)=ax 3+bx2+cx 一 9 得解得 a=一 1，b=3，c=923 【正确答案】 (1)平均成本 令得 x=1000，由经济意义知平均成本有最小值且驻点唯一，故 x=1000 是最小值点，即当生产 1000 件产品时平均成本最小由经济意义知利润有最大值且驻点唯一，故 x=1600 是最大值点即当企业生产 1 600 件产品时，可获最大利润最大利润是 L(1 600)=167000(元)五、证明题24 【正确答案】 令 f(x)=3xx2，x一 2，2，f(x)一 33x2=0,x=1，f(一 1)=一2，f(1)=2，f(2)=一 2，f(-2)=2；所以 fmin=一 2，f min=2，故一 2f(x)2，即3xx3225 【正确答案】
