1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 49 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 在下列极限求解中，正确的是( )（A）（B）（C）（D）2 设 y=f(x)可导，则 f(x-2h)-f(x)等于( )（A）f(x)h+0(h)（B）一 2f(x)h+o(h)（C） f(x)h+o(h)（D）2f(x)h+o(h)3 设函数 f(x)的一个原函数为 sin2x，则f(2x)dx=( )（A）cos4x+C（B）（C） 2cos4x+C（D）sin4x+C4 设二重积分的积分域 D 是 x2+y21，则 等于( )（A）（B） 4（C） 3（D）55 在区间-1，
2、 1上，不满足罗尔定理的函数是( )（A）（B） f(x)=ln(1+b2)（C）（D）6 在空间坐标系中，下列为平面方程的是( )（A）y 2=x（B）（C）（D）3x+4z=0二、填空题7 设函数 在点 x=0 处连续，则常数 k=_8 若 f(x)为可导的偶函数，则 f(0)=_.9 设 ，则 01f(x)dx=_.10 设 a=m，3，一 4)与 b=2，m，3)互相垂直，则 m=_11 平面 xy+z+3=0 与平面 2x-2y+2z+3=0 之间的距离 d=_12 设 ，则 dx (1,2)=_.三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设函数 在 x=0 处可导，求 a、b 的
3、值14 求极限15 求曲线 e2x+y+cos(xy)=e 一 1 过点(0，1) 的切线方程16 求17 求 01xarcsinxdx18 求方程 y+y2y=x 2 的通解19 20 已知四、综合题21 求椭球面 在点 M0(1，2，3)处的切平面和法线方程21 设平面图形由曲线 y=1 一 x2(x0)及两坐标轴围成22 求该平面图形绕 x 轴旋转所形成的旋转体的体积；23 求常数 a 的值，使直线 y=a 将该平面图形分成面积相等的两部分24 有一边长为 48 cm 的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，然后将四边折起做成一个方形无盖容器，问截去的小正方形的边长多大时，所得容器
4、的容积最大?五、证明题25 证明函数 在 x=0 处连续，在 x=0 处不可导26 证明：当 x一 1 时，江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 49 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 根据函数的定义，f(x)=F(x)=(sin2x)=2cos2x ，f(x)=一4sin2x，f(2x)=一 4sin2x，所以 f(2x)dx=-4sin4xdx=cos4x+C4 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域 D 如图所示：0r1，02 所以5 【正确答案】 C【试题解析】 罗尔定
5、理必须满足下列条件：函数 f(x)在a，b 上连续，在(a，b)内可导，并且 f(x)在区间端点的函数值相等6 【正确答案】 D【试题解析】 平面方程一般式：Ax+By+Cz+D=0 故选 D 项另外：A 项：y 2=是一条抛物线 B 项： 是两条平面正交线，显然是一空间直线 C 项：是空间直线方程的一般式二、填空题7 【正确答案】 ln2【试题解析】 由连续的定义，所以 k=In28 【正确答案】 0【试题解析】 (1) f(x)为偶函数， f(一 x)=f(x)(2)f(x)可导，一 f(一 x)=f(x)故一 f(0)=f(0)，2f(0)=0 即 f(0)=09 【正确答案】 【试题解
6、析】 令 01f(x)dx=A，10 【正确答案】 【试题解析】 ab ，a.b=0，2m+3m 一 12=0，故11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 f(x)在 x=0 处连续，f(0)=a，f(0 0)=1，f(0+0)=a，因为 f(0 一 0)=f(0+0)=f(0)所以 a=1又 f(x)在 x=0 处可导，因为 f-(0)=f+(0)，所以b=114 【正确答案】 15 【正确答案】 方程两端 y 对 x 求导：ey(2+y)+sin(xy).(1+y)=0将 x=0，y=1 代入得 y=一 2
7、所求切线方程为 y 一 1=一 2x，即 2x+y 一 1=016 【正确答案】 由于 可以看成是关于 x3 的函数，所以17 【正确答案】 18 【正确答案】 对应的齐次方程的特征方程为 2+ 一 2=0，得 1=一 2， 2=1，于是对应的齐次方程的通解为 (其中 C1，C 2 是任意常数)，因为 =0不是特征根，所以设特解为 y*=Ax2+Bx+C 代入原方程，得故原方程的通解为(其中 C1，C 2 是任意常数)19 【正确答案】 20 【正确答案】 四、综合题21 【正确答案】 设 则所以切平面方程为即 6x+3y+2z 一 18=0，法线方程为：22 【正确答案】 如图，利用定积分
8、几何意义 该平面绕 X 轴旋转所形成旋转体体积为= 01(1x2)2dx=01(12x 2+x4)dx23 【正确答案】 由题意，直线 y=a 将平面分成面积相等的两部分24 【正确答案】 设截下的小正方形的边长为 xcm，则正方形容器的底边长 48-2x，高 为 x，容器为 V(x)=(482x)2.x，其中 x 的变化范围是 0x24， V(x)=(482x)(486x)，令 V(x)=0 得， 驻点坐标 z=8，x=24(舍去)， V(x)=24x 一384，V(8)=一 1920， 所以 x=8，是唯一的极大值点，也是最大值点，最大值是V(8)=8 192 当截去的小正方形的边长是 8cm 时，容器的容积达到最大 8 192cm3五、证明题25 【正确答案】 26 【正确答案】 令 显然，F(x)在(0，+) 上连续由于 F(x)=故 F(x)在(0，+) 上单调递增，于是，当 0x1 时，F(x)F(1)=0，即 又(x 21)lnx(x 一 1)2，故(x 2 一 1)Inx(x 一 1)2；当 x1 时，F(x)F(1)=0，即 ，又 x210，故(x 21)lnx(x 一 1)2
