1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知 f(x)=2x ，则 f(0)=( )。（A）2 x ln2（B） 2xln2（C） 2-x1n2（D）不存在2 下列积分收敛的是( ) 。3 下列极限中正确的是( ) 。4 y=xx，则下列正确的是( )。（A）y=xx x-1（B） dy=xxlnxdx（C） y=xx(lnx+1)（D）y=x xdx5 与平面 x+y+z=1 平行的直线方程是( )。（A）（B） x-1=y-1=z-2（C）（D）z-2y+z=36 下列哪个结论是正确的( )。二、填空题7 如果 在 x
2、=0 处连续，那么 a。8 设 。9 点 M(2，-3，4) 到平面 3x+2y+z+3=0 的距离 d。10 设函数 y=y(x)是由方程 ex-ey=sin(xy)确定，则 。11 函数 f(x)=arctanx 在-1，1上满足拉格朗日中值定理的点是。12 交换积分次序 。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 已知 F(x)在 0 点连续，F(x)是 f(x)+2sinx 在 0 处的导数并且 f(x)连续在 0 处导数为 f(0)=6，求 。14 计算 。15 求 。16 设 f(x)= x-cos2x，求 f(x)的极值。17 求微分方程 yy”y 2 0 的通解。18 若 z
3、=z(x，y)是由方程 x2+y2+z2=3xyz 所确定的隐函数，求 。19 求 的收敛半径和收敛域。20 平面 通过直线 ，且垂直于平面 x+2y+3z=1，求平面 的方程。四、综合题21 设函数 y=f(x)满足方程 xy+y=x，且 。(1)求 f(x)；(2)求 f(x)的单调增加区间。22 某公司年产量为 x 百台机床，总成本为 C 万元，其中固定成本为 2 万元，每产1 百台增加 1 万元，市场上每年可销售此商品 4 百台，其销售总收入 R(x)(单位：万元)是 x 的函数， 问每年生产多少台利润最大?23 若 f(x)在 x=0 处连续，求 k，a 的值。五、证明题24 证明曲
4、线 上任意一点的切线所截两坐标轴的截距之和等于 a。(a0)江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D2 【正确答案】 B3 【正确答案】 C4 【正确答案】 C5 【正确答案】 C6 【正确答案】 C二、填空题7 【正确答案】 0【试题解析】 f(0)，那么 a=0。8 【正确答案】 tant【试题解析】 。9 【正确答案】 【试题解析】 根据点 M(x1，y 1，z 1，)到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离为。10 【正确答案】 1【试题解析】 对方程两边求导得：e xe yycosxyxy，根据 x
5、 的值求出 y 值，则可得出 y x=11。11 【正确答案】 【试题解析】 设点 ，根据拉格朗日定理，则此点满足 f(1)-f(-1)=f()1-(-1)，所以点 等于 。12 【正确答案】 0edx0lnxf(x,y)dy【试题解析】 通过作图可得出结论。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 解： =f(0)+2=6+2=8。14 【正确答案】 解：原式=。15 【正确答案】 解：令 x=atant，dx= ，当 x=a 时，t= 。当 x=+时，t= ，所以原式。16 【正确答案】 解：f(x)= +2sin2x=0 sin2x= 则：2x=+k(kZ)。f”(x)=
6、4cos2x，f”( +k)=4cos( +2k)= 0。故当 x= +k 时取得最小值，且。17 【正确答案】 解：设 y=p，则 y”= ，代入微分方程 yy”-y2=0 得：=p2，即 p=0 或 =p，由 p=0 得 y=C1；由 ，所以(其中 C1，C 2 为任意常数)，综上所述， 。18 【正确答案】 解：根据方程 x2+y2+z2=3xyz，两边对 x 求导：。19 【正确答案】 解：令 y=2x+1，原级数= ，R y=1， 。当 y=1时， 发散；当 y=-1 时， 收敛，所以 y 的收敛区间为-1，1)，相应的 x的收敛区间为-1，0)。20 【正确答案】 解：设 方程为(
7、x-2y+z-1)+(2x-y+2z-1)=0，即： (1+2)x+(-2-)y+(1+2)z+(-1-)=0， 那么 n=1+2，-2-，1+2，由于 垂直于 x+2y+3z=1，所以 (1+2)+2(-2-)+3(1+2)=0 =0，即平面 的方程为 x-2y+z=1。四、综合题21 【正确答案】 解：(1)经整理得一阶线性微分方程22 【正确答案】 解：设每年的产量为 x 百台时利润为 y 万元。令 y=0 得 x=3。计算y(0)=-2，y(3)= ，y(4)=2。故每年生产 3 百台时利润最大为 y(3)= 万元。23 【正确答案】 五、证明题24 【正确答案】 证明：方程两端 y 对 x 求导有 ，所以，过点(x，y) 的切线方程为 Yy (X-x)，这里(X，Y)为切线上点的流动坐标。令 X=0 得切线在 y 轴上的截距为 Y=y+ ，令 Y=0 得切线在 x 轴上的截距为 X=x+ ，所以两截距和为 ，故得证。
