1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 50 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若 则下列正确的是( )（A）（B）（C）（D）2 下列函数在一 1，1 上满足罗尔定理条件的是( )（A）y=e x（B） =1+x（C） y=1-x2（D）3 设 f(x)=x(x212)(x2 一 22)(x2 一 n2)，则 f(0)=( )（A）(n!) 2（B） (一 1)n(n!)2（C） n!（D）(一 1)nn!4 设 f(x)=alnx+bx3 一 3x 在 x=1，x=2 取得极值，则 a，b 为( )（A）（B）（C）（D）5 设 e-2x 是 f(x)的一
2、个原函数，则 =( )（A）2e -2x（B） 8e-2x（C）一 2e-2x（D）4e -2x6 著 f(x)的二个原菌数为 ln2x,则xf(x)dx=( )（A）lnxln 2x+C（B） 21nx+ln2x+C（C） 2lnxln2x+C（D）lnx+ln 2x+C二、填空题7 定积分 02x 一 1dx=_8 曲线 的拐点是_9 若 则 Ff(f(x)=_10 已知 a，b 均为单位向量，且 ，则以向量 a.b 为邻边的平行四边形的面积为_.11 的收敛半径和收敛域为_12 若 =_.三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求14 设 y=y(x)由方程 1y+xxy=0 确定，
3、求15 计算不定积分16 计算定积分 0x2cos2xdx17 求过点 M(2，2，1)且与平面 ：2xy+z 一 3=0 平行，又与直线垂直的直线方程18 设 z=f(sinx,cosy,e),其中 f 有二阶连续偏导数，求 .19 求幂级数 的收敛半径与收敛区间20 计算二重积分 其中 D:x2+y22x.四、综合题21 求曲线 的切线方程及法平面方程22 从(0 ，0) 作抛物线 y=1+x2 的切线，求： (1)由切线、抛物线所围成区域的面积； (2)上述图形绕 y 轴旋转所得的旋转体积23 甲、乙两村合用一变压器(如图)，若两村用同样型号线架设输电线，问变压器设在输电干线何处时，用线
4、最短?五、证明题24 证明：当 成立江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 50 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 选 D 项2 【正确答案】 C【试题解析】 逐一验证：对于 A 项，y=e x，e -1e，不满足 f(-1)=f(1)，选项B，y=1+x，在 x=0 处不可导，不满足，D 项 在 x=0 处不连续，故排除，选 C 项3 【正确答案】 B【试题解析】 令 g(x)=(x2 一 12)(x222)(x2 一 n2) f(x)=x.g(x) f(x)=g(x)+xg(x) f(0)=g(0)+0=(一 1)2(一 2)2
5、 (一 n)2=(一 1)n(n!)2 选 B 项注：本题用导数定义计算更方便!4 【正确答案】 B【试题解析】 答案选 B 项5 【正确答案】 D【试题解析】 (1) (2)F(x)=e-2x，f(x)=(e -2x)=一 2e-2x(3)原式=一 2(一 2)e-2x=4-2x 选 D 项6 【正确答案】 C【试题解析】 F(x)=ln 2x，选 C 项。二、填空题7 【正确答案】 1【试题解析】 8 【正确答案】 (1，4)【试题解析】 当 x=1 时，当 x(一 ，1)时，y0，而当 x(1，+) 时，y0，当 x=1时，y=4 ，所以拐点是(1，4)9 【正确答案】 x【试题解析】
6、f(f(x)10 【正确答案】 【试题解析】 根据向量叉积，以向量 a，b 为邻边的平行四边形的面积为S= a.b sin=a.b ，由已知，a=1，b=1，a.b=ab cos=，可得 sin= ，可得平行四边形面积为11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 ，把(1，一 1)代入即可三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 代入 x=0，得 y=0，即 y(0)=1原方程两边同时关于 x 求导得一y+ey+xeyy=0代入 y(0)=1，得 y(0)=e，即 方程两边继续关于 x 求导得一 y+eyy+(ey+xeyy)y+xe
7、yy=0，代入 y(0)=1、y(0)=e，得 y(0)=2e2，即15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 由已知可得平面 和直线 L 的法向量和方向向量分别为 n0=(2，一 1，1) ，s 0=(1，3，1)取所求直线的方向向量为所以所求直线的方程为18 【正确答案】 19 【正确答案】 因为 所以 R=3，则一 3x 一 23，即一 1x5当 x=一 1 时， (收敛一莱布尼茨定理)；当 x=5 时， (发散一调和级数)所以收敛区间为一 1，5) 20 【正确答案】 本题利用极坐标，令 ，即 r2cos8由 x2+y22x，得(x一 1)2+y21，则区域 D 如图显
8、然区域 D 是关于 x 轴对称的，所以四、综合题21 【正确答案】 该点为 t=1 时的对应点，所以过该点切线方程的方向向量为 所求切线方程为： 法平面方程为： 即：2x 一 8y+16z 一 1=022 【正确答案】 设切点为(x 0，1+x 0)，k=y=2x 0，则切线方程y=2x0x，那么 1+x02=2x02，所以 x0=1，即切线方程为 y=2x，23 【正确答案】 设变压器所在地 C 距 A 处 x 公里，两村输电线总长为 y，则移项，平方，整理得 125x 2+6x一 9=0解得 x=12，由于驻点唯一 (负值舍去)故变压器放在距 A 地 12 km处，所需电线最短五、证明题24 【正确答案】 设 令内解得 x=0由内的最小值是 f(0)=0故当
