1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 51 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知 f(0)=0，f(0)=1 ，则 =( )（A）1（B） 0（C）一 1（D）不存在2 若 则 f(x)等于( )（A）（B）（C）（D）3 当 x0 时， 为 x 的( )（A）高阶无穷小量（B）低阶无穷小量（C）同阶，但不等价无穷小量（D）等价无穷小量4 方程 x2+y2=4x 在空间直角坐标系中表示 ( )（A）圆柱面（B）点（C）圆（D）旋转抛物面5 若广义积分 收敛，则 P 应满足( )（A）0p1（B） p1（C） p一 1（D）p06 设对一切 x 有 f(-x
2、,y)=-f(x,y),D=(x,y)x 2+y21,y0D=(x,y)x 2+y21，x0，y0) ，则 =( )（A）0（B）（C）（D）二、填空题7 =_.8 函数 f(x)=2x2 一 x+1 在区间-1，3 上满足拉格朗日中值定理的 =_9 其中 D 为以点 O(0，0)、A(1 ，0)、B(0，2)为顶点的三角形区域10 设 =_。11 交换二次积分次序 =_.12 微分方程 yy+xxy=0 满足 y x=1=0 的特解为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求极限14 求15 z=(x+y)exy，求 ddz.16 求 .17 求 y一(cosx)y=e sinx 满足
3、 y(0)=1 的解18 设 z=xf(x2，xy)，其中 f(u，v)的二阶偏导数存在，求19 求函数 y=xln(x+1)的单调区间，极值及其曲线的凹凸区间20 求幂级数 的收敛域四、综合题21 设曲线 y=x2(0x1)，问 t 为何值时，图中的阴影部分面积 S1 与 S2 之和 S1+S2 最小22 已知 ，求 p=a+b,q=ab 的夹角 五、证明题23 设 ba 0，证明： abdyybf(x)e2x+yydx=ab(e3x 一 e2x+a)f(x)dx江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 51 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【
4、试题解析】 该式利用洛必达法则， 所以选 A 项2 【正确答案】 C【试题解析】 对等式两边求导得：3 【正确答案】 D【试题解析】 根据等价无穷小量的定义，故选 D 项4 【正确答案】 A【试题解析】 x 2+y2=4xx 2 一 4x+4+y2 一 4(x 一 2)2+y2=22，在平面坐标系中，这表示一个圆，而在空间坐标系中，这表示母线平行于 Z 轴的圆柱面所以选 A项5 【正确答案】 B【试题解析】 当 p1 时， 发散6 【正确答案】 A【试题解析】 如图，根据题中条件画出积分域，积分域关于 y 轴对称，又 f(一x，y)=一 f(x， y)，即被积函数是关于 x 的奇函数，由积分对
5、称性原因二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 本题是考查幂指函数求极限，先把极限变形为 ，此题是形如 1型的不定式，可以利用两个重要极限公式的推广公式求解8 【正确答案】 =1【试题解析】 由已知可得 f(x)=4x 一 1，令 ，解该方程即为满足拉格朗日定理的 =19 【正确答案】 一 1【试题解析】 01xf(x)dx=01xdf(x)=xf(x) 01 一 01f(x)dx=f(1)一 3=23=一 1?10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 由原二次积分可知原函数的积分区域 D 如图 a，显然原二次积分是按 X 一型看待的，现在我们按照 Y 一型看待，如
6、图 b，则原二次积分可以写成12 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 设 arctanx=t，x=tant，则：15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 这是一阶线性非齐次微分方程，其中 P(x)=-mcosx，Q(x)=e sinx 于是方程的通解为： y=e -P(x)dxQ(x)eP(x)dxdx+C=e-(-cosx)dxesinxe(-cosx)dxdx+C =esinx(esinxe-sinxdx+C)=exinx(x+C) 由 y(0)=1，得 C=1，故所求解为：y=e sinx(x+1)1
7、8 【正确答案】 19 【正确答案】 函数的定义域为 (一 1，+) ； 令 y=0，得驻点x=0又 x(一 1，+) ，于是函数的曲线恒为凹的曲线弧，即凹区间为：(一 1，+)；又-1x0 时，y0，函数递减；0x+时，y 0，函数递增，故函数单调递减区间为：(一 1，0)；递增区间为：(0，+)；且函数在x=0 处取得一极小值 f(0)=020 【正确答案】 令 x 一 5=t， 收敛半径为：当 t=1 时，级数 发散；当 t=一 1 时，级数收敛所以级数 的收敛域为一 1，1)，那么级数 的收敛域为4 ，6)四、综合题21 【正确答案】 当 时 S1+S2 最小【试题解析】 (1)选择 y 为积分变量(2)(3)求极值22 【正确答案】 【试题解析】 (1) (2)p 2=a+b 2=(a+b).(a+b)=a 2+b 22(a.b)3+1+又q 2=ab 2=(ab).(ab)=a 2+b 22(a.b)=3+1五、证明题23 【正确答案】
