1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 52 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 在点 x=0 处( ) （A）有定义但无极限（B）无定义但有极限值 0（C）无定义但有极限值 1（D）既无定义又无极限值2 若 f(x)在 x=a 处可导，则 =( )（A）mf(a)（B） nf(a)（C） (m+n)f(a)（D）3 设 f(x)的导函数连续，且 的一个原函数，则xf(x)dx=( )（A）（B）（C）（D）4 若 f(x)在 一 a，a 连续，则 -aaxf(x)+f(-x)dx=( )（A）2 0axf(x)dx （B） 20axf(一 x)dx（C）
2、 0（D）2 0axf(x)+f(-x)dx5 向量 a=(1,-4,1)与 b=(2,-2,-1)的夹角 为( ).（A）（B） 0（C）（D）6 已知当 x0 时，x 2ln(1+x2)是 sinnx 的高阶无穷小，而 sinnx 又是 1 一 cosx 的高阶无穷小，则正整数 n=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题7 若 且 f(x)在 x=x0 处有定义，则当 A=_时，f(x)在 x=x0 处连续8 的水平渐近线是_，垂直渐近线是_9 =_.10 设向量 a=(2，4，一 5)，b=(2，3，k) ，若 a 与 b 垂直，则 k=_11 二次积分 01dx0x24x
3、dy=_12 交换积分的次序： 1edx0lnxf(x，y)dy=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 计算14 设15 计算： 01xln(x+1)dx16 求方程 xy+y 一 ex=0 满足初始条件 y x=1=e 的特解17 设 ，其中厂具有二阶连续偏导数，求 .18 求积分19 将函数 y=cos2x 展成关于 x 的幂级数20 计算 其中 D 是由直线 y=x，2y=x 及 x=1 围成的区域四、综合题21 求函数 f(x)=x3 一 3x+1 的单调区间和极值21 已知一平面图形由抛物线 y=x2、y= 一 x2+8 围成22 求此平面图形的面积；23 求此平面图形绕 y
4、 轴旋转一周所得的旋转体的体积23 已知某厂生产 x 件产品的成本 (单位：元)试问：24 要使平均成本最小，应生产多少件产品?25 若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品?五、证明题26 当 x0 时，证明 成立27 设 F(x)是 f(x)的一个原函数， G(x)是 的一个原函数且 F(x)G(x)=一 1，f(0)=1，证明： d(x)=ex 或 f(x)=e-x江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 52 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 无定义是显然的，因为极限 (无穷小乘以有界量仍是无穷小)2 【正
5、确答案】 C【试题解析】 在这里函数值由 f(a 一 mh)变为 f(a+nh)，自变量改变了(a+nh)一(a 一 mh)=(n+m)h，因此，相应地在分母的位置上构造出相同的自变量的改变量.3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 是 f(x)的一个原函数，所以有 所以4 【正确答案】 C【试题解析】 本题利用函数的对称性和奇偶性化简定积分计算，因为 xf(x)+f(一x)为奇函数，所以结果为 05 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 C【试题解析】 由已知， 则 n4，又 sinnx 是 1 一 cosx的高阶无穷小，则 则 n2，所以 n=3，选 C 项二、填空题7 【正确答
6、案】 f(x 0)【试题解析】 根据连续的定义， ，所以 A=f(x0)时，f(x)在 x=x0处连续8 【正确答案】 y=1，x=1【试题解析】 是其水平渐近线是其垂直渐近线9 【正确答案】 【试题解析】 设 x=asect，dx=asecttantdt，换限：当 x=a 时，t=0 ；当 x=2a 时，于是10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 1【试题解析】 12 【正确答案】 10dyeeyf(x,y)dx【试题解析】 画出积分区域 D：1xe，0ylnx，见图改写 D：0y1，e yxe 便得原式= 01dyeyef(x，y)dx.三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。
7、13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 由 xy+y 一 ex=0，得17 【正确答案】 令 u=x2, 则 z=f(u，v)，18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 积分区域 D 如图所示，从被积函数的特点知，该积分应化为 “先对 y 积分，后对 x 积分” 的二次积分四、综合题21 【正确答案】 函数的定义域为(一，+) ，f(x)=3x 23，令 f(x)=0，得驻点 x1=一 1，x 2=1，列表得：函数 f(x)的单调增区间为(一，一 1)和(1，+)，单调减区间为一 1，1f(一 1)=3 为极大值，f(1)=一 1 为极小值22 【正确答案】 用定积分求面积和体积，如图，所围平面图形的面积为23 【正确答案】 此平面图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积为 V=24 【正确答案】 设平均成本为 y，则令 y=0，得 x=10 000，此即为所求25 【正确答案】 设利润为 L，则令 L=0，得 x=6 000，此即为所求五、证明题26 【正确答案】 (1)变形： ，这是对数函数的增量形式27 【正确答案】 (2)讨论，(i)若 F(x)=f(x)，即lnf(x)=-x+C 2,F(x)=Ce-x 由 f(0)=1，得C=1故有 f(x)=e-x 证毕
