1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 54 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 在下列的极限求解中，正确的是( )（A）（B）（C）（D）2 下列级数收敛的是( ) （A）（B）（C）（D）3 设 a=一 i+j+2k，b=3i+4k，用 b0 表示 b 方向上的单位向量，则向量 a 在 b 上的投影为 ( )（A）（B） b0（C）（D）一 b04 设 f(x)在 x=x0 处可导， 则 f(x0)=( )（A）一 4（B）一 2（C） 2（D）45 函数 的水平渐近线方程是( )（A）y=1（B） y=2（C） y=3（D）y=06 下列不定积分计算正确的
2、是( )（A）（B）（C）（D）二、填空题7 =_.8 设 f(x)为连续奇函数，则 f(0)=_9 =_.10 已知 则a+b=_11 若直线 y=5x+m 是曲线 y=x2+3x+2 的一条切线，则常数 m=_12 的定义域是_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 已知 F(x)在 0 点连续，F(x)是 f(x)+2sinx 在 0 处的导数并且 f(x)连续在 0 处导数为 f(0)=6，求 14 计算15 求16 设 ，求 f(x)的极值17 求微分方程 yy1y 2=0 的通解18 若 z=z(x，y)是由方程 x2+y2+z2=3 两 z 所确定酌隐函数，求 .19 求 的
3、收敛半径和收敛域20 平面 通过直线 且垂直于平面 x+2y+3z=1，求平面 的方程四、综合题21 设函数 问 g(x)是否有间断点、不可导点?若有请指出22 某厂生产某产品，年产量为 x(百台)，总成本 C(万元)，其中固定成本为 2 万元，每产 1 百台成本增加 1 万元，市场上每年可销售此种产品 4 百台，其销售总收入R(x)是 x 的函数， 伺每年生产多少台时总利润最大?22 设有抛物线 y=4x 一 x2.23 抛物线上哪一点处的切线平行于 x 轴?写出该切线方程24 求由抛物线与其水平切线及 y 轴围成的平面图形面积25 求该平面图形绕轴旋转所成的旋转体体积五、证明题26 求：(
4、1)函数的单调区间及极值；(2)函数凹凸区间及拐点；(3)渐近线27 某曲线在(x，y) 处的切线斜率满足 ，且曲线通过(1，1)点，(1)求y=y(x)的曲线方程； (2)求由 y=1，曲线及 y 轴围成区域的面积； (3)上述图形绕 Y轴旋转所得的旋转体的体积江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 54 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A，很明显是一个发散级数(指数函数的增长速度高于幂函数增长速度)B 项用比较法通项 发散，对于C，由于 不存在，根据定义可知该级数发散，可排除 D 项，根
5、据莱布尼兹判别法， 单调下降，且 收敛，故此级数条件收敛3 【正确答案】 B【试题解析】 根据矢量 b 在 a 上的投影公式4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 =6.lne-3=6-3=36 【正确答案】 A【试题解析】 二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 0【试题解析】 (1) f(x)为奇函数， f(一 x)=一 f(x)，(2) ，又 f(x)在 x=0 连续， f(0)=一 f(0)，故 f(0)=09 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 a+b 2=(a+b).(a+b)=a 2+a 2+2ab 11
6、【正确答案】 1【试题解析】 由已知，切线斜率 k=yt=2x+35，解得 x=1，代入曲线方程得y=6，即切点坐标为(1，6)，代入切线方程 y=5x+m，解得 m=112 【正确答案】 D=(x ，y)r 2x 2+y2R 2)【试题解析】 定义域 D=(x，y)r 2x 2+y2R 2三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 根据方程 x2+y2+z2=3xyz，两边对 x 求导：19 【正确答案】 令 y=2z+1， 当 y=1 时，收敛，所以 y 的收敛区间为-1，1)
7、，相应的 x 的收敛区间为一 1，0) 20 【正确答案】 设 x 方程为(x 一 2y+z 一 1)+(2xy+2z 一 1)=0，即：(1+2)x+(一 2 一 )y+(1+2)z+(一 1 一 )=0，那么 n=(1+2，一 2 一 ，1+2)，由于 垂直于 x+2y+3z=1，所以 (1+2)+2(一 2 一 )+3(1+2)=0=0，即平面 的方程为 x一 2y+z=1四、综合题21 【正确答案】 g(x)在 x=8 处连续x=8 是 g(x)的可导点于是知 g(z)在(一 ，+) 内连续，没有间断点；x= 一 1 是 g(x)的不可导点22 【正确答案】 设销售量为 x 百台，c(
8、x)=2+x，则利润函数由此可得：Lmax=25=L(3)，所以每年生产 3 百台时总利润最大23 【正确答案】 y=4x-x 2，y=42x 要切线平行于 x 轴，令 y一 42x=0，得x=2，代入 y=4x 一 x2 得 y=4， 故抛物线 y=4x 一 x2 上(2，4)处的切线平行于 z 轴，该切线方程为 y=424 【正确答案】 由抛物线与其水平切线 y=4 及 y 轴围成的平面图形面积为25 【正确答案】 该平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积为该平面图形绕 y 轴旋转所成的旋转体体积为五、证明题26 【正确答案】 由 得函数的定义域为(xxR，且 x1)，y=，令 y=0 得
9、驻点 x=0，x=3，这里 x=1 不能算作不可导点，因为它不在定义域内列表讨论(这里虽然不对 x=1 这点讨论，但是由于它是函数的间断点，把定义域分开了，所以在表中也单列出来)由上表可得单调递增区间为(一，1)，(3，+)；单调递减区间为(1，3)极小值为由 ，继续得到 ，令 y=0 得 x=0，这里同样 x=1 也不能算作二阶不可导点，因为它不在定义域内。由于只有一个二阶导数等于零的点，所以这里就不需要列表讨论了，简单叙述一下即可因为当 x0 时，y 0； x0 时，y“0，所以拐点为(0，0)凹区间为(0，1)，(1，+)；凸区间为(一， 0)对于渐近线，由于 ，所以 x=1 是一条垂直渐近线而 ，所以没有水平渐近线27 【正确答案】
