1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 62 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 f(x)=xsin 在点 x=0 处( )。（A）有定义但无极限（B）无定义但有极限值 0（C）无定义但有极限值 1（D）既无定义又无极限值2 若 f(x)在 x=a 处可导，则 =( )。（A）mf(a)（B） nf(a)（C） (m+n)f(a)（D） f(a)3 设 f(x)的导函数连续，且 是 f(x)的一个原函数，则 =( )。（A） +C（B） +C（C） +C（D） +C4 若 f(x)在 一 a，a 连续，则 xf(x)+f(一 x)dx=( )。（A）2 x
2、f(x)dx（B） 2 xf(x)dx（C） 0（D）2 xf(x)+f(一 x)dx5 向量 a=(1，一 4，1)与=(2，一 2，一 1)的夹角 为( )。（A）（B） 0（C）（D）6 已知当 x0 时，x 2ln(1+x2)是 sinnx 的高阶无穷小，而 sinnx 又是 1 一 cosx 的高阶无穷小，则正整数 n=( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题7 设 f(x)=(x500 一 1)g(x)，其中 g(x)在 x=1 处连续，g(1)=4，则 f(1)=_。8 y=y(x)由 ln(x+y)=exy 确定，则 x=0 处的切线方程为_。9 (1+x3)dx
3、=_。10 =_。11 若函数 f(x)= 为连续函数，则 a+b=_。12 设函数 y=2x2+ax+3 在 x=1 处取得极小值，则 a=_。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 若 f(x)= 在 x=0 处连续，求 a，b，c。14 求不定积分x 2exdx。15 求 。16 求函数 y= (x0)哪一点上的切线与直线 y=x 成 60角?17 已知 U=f(x+y，x 2，ysinx)，求 。18 求微分方程 xyy=x2ex 的通解。19 求级数 的和数。20 当 k 为何值时，广义积分 收敛?当 k 为何值时，这个广义积分发散?又当 k 为何值时，广义积分取得最小值?四、综
4、合题21 求函数 f(x)=x3 一 3x+1 的单调区间和极值。22 已知一平面图形由抛物线 y=x2、y= 一 x2+8 围成。22 已知某厂生产 x 件产品的成本 C=25000+200x+ x2(单位：元)。试问：23 要使平均成本最小，应生产多少件产品?24 若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品?五、证明题25 设 x(0，1)，证明：(1+x)ln 2(1+x)2。25 已知 f(x)= ，证明：26 f(x)在 x=0 处可微；27 f(x)在 x=0 处不可微。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 62 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项
5、是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 无定义是显然的，因为极限 (无穷小乘以有界量仍是无穷小)2 【正确答案】 C【试题解析】 =，在这里函数值由 f(amh)变为 f(a+nh)，自变量改变了(a+nh)一(a一 mh)=(n+m)h，因此，相应地在分母的位置上构造出相同的自变量的改变量3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 是 f(x)的一个原函数，所以有 f(x)= ，所以xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)f(x)dx= f(x)dx= +C= +C 注：本题也是考试中常见的题型，有两点需要注意，一是根据已知条件求出 f(x)，二是在求f(x)dx 的时候不用再把求出的
6、f(x)= 代入进去算 了，因为条件中已经告诉我们 是 f(x)的一个原函数，而f(x)dx 就是求 f(x)的原函数，所以不用再进行求解了。4 【正确答案】 C【试题解析】 本题利用函数的对称性和奇偶性化简定积分计算，因为 xf(x)+f(一x)为奇函数，所以结果为 0。5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 cos= ，所以 =6 【正确答案】 C【试题解析】 由已知， =0，则 nnx 是 1 一 cosx 的高阶无穷小，则 =0，则 n2，所以 n=3，选 C 项。二、填空题7 【正确答案】 2000【试题解析】 f(1)= = (因为 g(x)在 x=1 处连续且 g(1)=4)=2
7、000。8 【正确答案】 ye=(e 2 一 1)x【试题解析】 由 ln(x+y)=exy，得 (1+y)=exy(y+xy)，x=0，y=e， (1+y)=ek=y(0)=e2 一 1，所以方程为：ye=(e 2 一 1)x9 【正确答案】 【试题解析】 11 (1+x3)dx=11 dx+11 dx= 2=10 【正确答案】 1【试题解析】 =1(1)所以 =111 【正确答案】 1【试题解析】 =2 a=2， =2 b= 一 1，所以 a+b=1。12 【正确答案】 一 4【试题解析】 由极值存在的必要条件知： =0，即 4+a=0，故 a= 一 4。三、解答题解答时应写出推理、演算步
8、骤。13 【正确答案】 f(0 一 0)= = +=1，f(0+0)=ce4，因为 f(x)在x=0 处连续，所以 f(0 一 0)=f(0+0)=f(0)，得：b=ce 4=1 所以 c=e4，b=1，a 为任意实数14 【正确答案】 x 2exdx=x2d(ex)=x2ex+2xexdx=x2ex2xd(ex) =x2ex2xex2ex+C15 【正确答案】 =16 【正确答案】 设切线斜率为 k2 k1=1tana= ，解得k2= 2 ，那么 y= =一 2 ，解得 x= ，y=17 【正确答案】 = + 2x+ ycosx， = + sinx+2x( + sinx)+cosx. +yc
9、osx( + sinx)18 【正确答案】 原方程化为：yy=xex，y= =x(exdx+C)=x(ex+C)=xex+Cx19 【正确答案】 e x= ，x (，+)，对上式两边求导得：e x=xex= 对上式两边再次求导，得： (x+1)ex= xn1x(一，+)，于是，对上式两边取 x=1，得 =2e20 【正确答案】 当 k1 时，当 k=1 时，发散，即，当 k1 时，广义积分 收敛；当k1 时，广义积分发散。设 f(k)= (k1)，则 f(k)=令 f(k)=0，得驻点 k0=1 一 ，但当 kk 0 时，f(k)k 0 时，f(k)0，所以，当 k=k0=1 一时，广义积分取
10、极小值，也就是最小值。四、综合题21 【正确答案】 函数的定义域为(一，+) ，f(x)=3x 2 一 3，令 f(x)=0，得驻点x1=一 1，x 2=1，列表得：函数f(x)的单调增区间为(一，一 1)和(1，+)，单调减区间为一 1，1，f(一 1)=3 为极大值，f(1)=一 1 为极小值。22 【正确答案】 用定积分求面积和体积，如图， (1)所围平面图形的面积为 S= (8x2x2)dx= (2)此平面图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积为 V= + =1623 【正确答案】 设平均成本为 y，则 y= (25000+200x+ x2)，y= + ，令 y=0，得 x=1000，
11、此即为所求。24 【正确答案】 设利润为 L，则 L=500x 一(25000+200x+ x2)，L=500 200 一x 令 L=0，得 x=6000，此即为所求。五、证明题25 【正确答案】 原不等式等价于 ln(1+x) ，令 F(x)= ln(1+x)，F(0)=0，F(x)= ，当 x0 时，1+ ，F(x)0，F(x) 在 x0 上严格单调上升，即 F(x)F(0)=0，即原不等式得证。26 【正确答案】 =0，,f(x)在 x=0 处可微。27 【正确答案】 当 x0 时，f(x)= ，因此结合结论(1)有 f(x)= 于是，我们可以计算一下 f(x)在 x=0 是否可微， 不存在所以 f(x)在 x=0 处不可微。注：可微即可导。
