1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 64 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知连续函数 f(x)满足 f(x)=x2+ ，则 f(x)=( )。（A）f(x)=x 2+x（B） f(x)=x2x（C） f(x)=x2+（D）f(x)=x 2+2 函数 f(x)= 在 x=0 处( )。（A）连续但不可导（B）连续且可导（C）不连续也不可导（D）可导但不连续3 关于 y= 的间断点说法正确的是( ) 。（A）x=k+ 为可去间断点（B） x=0 为可去间断点（C） x=k 为第二类无穷间断点（D）以上说法都正确4 设 D：x 2+y2R2，则 =( )。（
2、A） =R3（B） =R2（C）（D） =2R35 抛物面 + + =1 在点 M0(1，2，3)处的切平面是( )。（A）6x+3y2z 一 18=0（B） 6x+3y+2z 一 18=0（C） 6x+3y+2z+18=0（D）6x 一 3y+2z 一 18=06 幂级数 的收敛半径是( )。（A）0（B） 1（C） 2（D）+二、填空题7 x+y=tany 确定 y=y(x)，则 dy=_。8 函数 y= ，y(0)=_。9 设 u=exysinx， =_。10 若 f(ex)=xex，f(1)=0，则 f(x)=_。11 交换二次积分得 + =_。12 幂级数 的收敛半径 R=_。三、解
3、答题解答时应写出推理、演算步骤。13 已知 F(x)在 0 点连续，F(x)是 f(x)+2SinX 在 0 处的导数并且 f(x)连续在 0 处导数为 f(0)=6，求 F(x)。14 计算 x2cosxdx。15 求 。16 设 f(x)= x 一 cos2x，求 f(x)的极值。17 求微分方程 yy一 y2=0 的通解。18 若 z=z(x，y)是由方程 x2+y2+z2=3xyz 所确定的隐函数，求 。19 求 (2x+1)的收敛半径和收敛域。20 平面 通过直线 且垂直于平面 x+2y+3z=1，求平面 的方程。四、综合题21 求 y=(x 一 1) 的极值与单调区间。22 已知曲
4、线 y=f(x)过原点且在点(x，y)处的切线斜率等于 2x+y，求此曲线方程。23 某地域人口总数为 50 万，为在此地域推广某项新技术，先对其中 1 万人进行了培训，使其掌握此项新技术，并开始在此地域推广。设经过时间 t，已掌握此新技术的人数为 x(t)(将 x(t)视为连续可微变量 )，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，且比例常数为 k(k0)，求 x(t)。五、证明题24 设 f(x)在1，2上具有二阶导数 f(x)，且 f(2)=f(1)=0，如果 F(x)=(x 一 1)f(x)，试证明至少存在一点 (1，2)，使 F()=0。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷
5、 64 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 用代入法可得出正确答案为 C。2 【正确答案】 B【试题解析】 =0 f(x)=f(x)=f(0)=0，则此分断函数在 x=0 处连续，又=0，=0，则 ，故分段函数 x=0 可导。3 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)= 的间断点为 x=k，k+ ，kZ f(x)=0，所以 x=k+为可去间断点，对于 x=k，当 k=0，即 x=0 时， =1，x=0 为可去间断点，当 k0 时， =，x=k 为第二类无穷间断点。4 【正确答案】 C【试题解析】 在极坐标中，0rR，02，5 【
6、正确答案】 B【试题解析】 设 F(x，y， z)= 1，则Fx= x，F y= ，F z= ，F x(1，2，3)= ，F y(1，2， 3)= ，F z(1，2，3)= 切平面方程为 6x+3y+2z 一 18=0。6 【正确答案】 B【试题解析】 = =1 收敛半径 R= =1二、填空题7 【正确答案】 8 【正确答案】 9 【正确答案】 e xy(ysinx+cosx)【试题解析】 =exy.ysinx+exy.cosx=exy(ysinx+cosx)。10 【正确答案】 11 【正确答案】 12 【正确答案】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 = +2 =f(
7、0)+2=6+2=8。14 【正确答案】 原式= = = + = + = 215 【正确答案】 令 x=atant，dx= ， = cost，当 x=a 时，t= ，当 x=+时，t= ，所以原式= = costdt= =16 【正确答案】 f(x)= +2sin2x=0 sin2x= 则：2x= +2k x= +k(kZ)f(x)=4cos2x，f( +k)=4cos( +2k)= 0，故当 x= +k 时取得最小值，且 f 最小值 = ( +k)cos2( +2k)= ( +k)17 【正确答案】 设 y=P，则 y= ，代入微分方程 yyy2=0 得： =p2，即 P=0 或 =P，由
8、P=0 得 y=C1；由 =P =C，所以 y= (其中C1，C 2 为任意常数 )，综上所述，V=18 【正确答案】 根据方程 x2+y2+z2=3xyz，两边对 x 求导：2x+ =3yz+3zy ，所以：19 【正确答案】 令 y=2x+1，原级数= ，R y=1，R x= = 当 y=1 时，发散；当 y=一 1 时， 收敛，所以 y 的收敛区间为一 1，1)，相应的 x 的收敛区间为一 1，0)。20 【正确答案】 设 方程为 (x 一 2y+z1)+(2xy+2z 一 1)=0，即：(1+2)x+(一2 一 )y+(1+2)z+(一 1 一 )=0，那么 n=1+2，一 2 一 ，
9、1+2，由于 垂直于x+2y+3z=1，所以(1+2)+2(一 2-)+3(1+2)=0 =0，即平面 的方程为 x 一2y+z=1。四、综合题21 【正确答案】 (1)定义域 x(一 ，+)(2)y= +(x 一 1) = (3)可能的极值点：令 y=0，得驻点 x= y不存在，得 x=0(4)列表所以，函数在(一，0)、 ( ，+)内单调增加，在 (0， )内单调减少；函数在 x=0 点取到极大值y=0，在 x= 处取到极小值 y=22 【正确答案】 由题意得，y=2x+y，y(0)=0，则变为求一阶线性非齐次微分方程特解，上式化为标准形式，y一 y=2x，代入求解公式，得 y=e x(e
10、xdx+C)=ex(2exdx+C) =ex(2xdex+C)=ex(2xex+2exdx+C) =ex(2xex2ex+C)=2(x+1)+Cex 把 y(0)=0 代上式，可得 C=2， 所以上述微分方程特解为 y=一 2x 一2+2ex，即为所求曲线方程。23 【正确答案】 令 y=x(t)，由题意 y=ky(50y)y(0)=1 =kdt，=kdt， dy=50kdtlnyln(50y)=50kt+C， =50kt+C 当 t=0 时，C=一 ln49，特解为 =50ktln49=e50kt. ，解得 y=x(t)=五、证明题24 【正确答案】 设 G(x)=F(x)一(x 一 2)f(1)，则 G(x)在1，2 上连续，在(1，2)内可导，而 G(1)=f(1)，G(2)=f(2)，于是由 f(2)=f(1)=0 知 G(1)=G(2)。 由罗尔定理知在(1， 2)内至少有一点 1 使 G(1)=0，即 F(1)=f(1)， 又由 F(x)=f(x)+(x 一 1)f(x)知 F(1)=f(1)， 显然 F(x)=f(x)+(x1)f(x)在1， 1上满足罗尔定理条件， 于是在(1， 1)内至少有一点 使 F()=0， 即在(1 ，2)内至少有一点 使 F()=0。
